Considere o período sinódico T = 29,5 dias e a relação f(f) = (1 + cos f)/2 com f(t) = 2p·t/T (t em dias, f em…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere o período sinódico T = 29,5 dias e a relação f(f) = (1 + cos f)/2 com f(t) = 2p·t/T (t em dias, f em rad). Calcule a taxa temporal df/dt na fase de primeiro quarto (f = p/2). Forneça df/dt em unidades por hora (1 dia = 24 h).
- A) df/dt ˜ 0 por hora (não há variação na fase).
- B) df/dt ˜ -4,44×10?³ por hora (decréscimo da fração iluminada).
- C) df/dt ˜ -1,5×10?² por hora (decréscimo da fração iluminada).
- D) df/dt ˜ 4,44×10?³ h?¹ (aumento da fração iluminada).
- E) df/dt ˜ -2,22×10?³ por hora (decréscimo da fração iluminada).
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique a funcao. A fracao iluminada e k(t) = (1 + cos φ)/2, com φ(t) = 2·pi·t/T. A notação do enunciado repete a letra f para a fração e para a fase; adoto k para a fração e φ para a fase. Passo 2: Derive pela regra da cadeia. dk/dt = (1/2)·(-sen φ)·dφ/dt = -(1/2)·sen φ·(2·pi/T). Passo 3: Avalie na fase de primeiro quarto, φ = pi/2. Como sen(pi/2) = 1, dk/dt = -(1/2)·(2·pi/T) = -pi/T por dia. Passo 4: Calcule o valor numérico com T = 29,5 dias. pi/29,5 é aproximadamente 0,10649 por dia. Passo 5: Converta para horas, dividindo por 24 (1 dia = 24 h). O resultado é aproximadamente -0,0044372 por hora, ou seja, -4,44×10^-3 por hora. Passo 6: Compare com o gabarito. A alternativa B coincide com o resultado obtido, então o gabarito está correto. Por que as outras estão erradas: A supõe derivada nula, o que só ocorre nos extremos (lua nova e cheia), não no quarto; C tem magnitude incompatível com o cálculo; D tem o sinal invertido, pois pela fórmula dada a fração diminui nesta fase; E tem valor igual à metade do correto, por erro no fator.
💡 Dica: Calcule df/dt usando a relação dada e substitua f pela fase correspondente.
Alternativa por alternativa
Acredita que a fração iluminada não varia no quarto crescente, talvez confundindo o quarto com lua cheia ou nova, onde a derivada de (1 + cos φ)/2 é zero.
df/dt = -(1/2)·sinf·df/dt; df/dt = 2p/T = 2p/29,5 ˜ 0,21294 rad·dia?¹. Em f = p/2, sinf = 1 ? df/dt ˜ -0,5·0,21294 = -0,10647 dia?¹ = -0,10647/24 ˜ -4,44×10?³ h?¹.
Obtém magnitude cerca de três vezes maior, provavelmente por erro na conversão de unidades ou por usar 2·pi/T em horas com T mal convertido, sem aplicar corretamente o fator 1/2.
Erra o sinal ao supor que a fração iluminada aumenta após o quarto, transferindo para o modelo o comportamento real da Lua entre a nova e a cheia, sem aplicar a fórmula dada.
Por que engana: O aluno pode confundir a taxa de variação positiva e negativa, interpretando erroneamente o sinal da derivada.
Obtém exatamente a metade do valor correto, por erro de fator, como aplicar duas vezes o fator 1/2 ou usar pi/T em vez de 2·pi/T na derivada da fase.
Raio-X da questão
taxa temporal em física
avaliacao
taxa de variação · funções trigonométricas
Revisar derivadas e taxas de variação em funções trigonométricas.
O aluno pode confundir a taxa de variação positiva e negativa, interpretando erroneamente o sinal da derivada.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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