Numa urna há 3 bolas azuis, 2 vermelhas e 1 amarela. Retira-se uma bola sem reposição e, em seguida, outra…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Numa urna há 3 bolas azuis, 2 vermelhas e 1 amarela. Retira-se uma bola sem reposição e, em seguida, outra. Seja A = 'a primeira não é vermelha' e B = 'a segunda é vermelha'. Verifique se A e B são independentes e calcule P(B|A).
- A) A primeira bola sempre será vermelha, por isso P(B|A)=100%.
- B) Não; são dependentes. P(B|A)=2/5.
- C) P(B|A)=0, pois a primeira não pode ser vermelha.
- D) A e B são independentes porque o número de bolas não importa.
- E) P(B|A)=1/3, pois existem 6 bolas ao todo.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Total de bolas: 3 azuis + 2 vermelhas + 1 amarela = 6. Sem reposição, a segunda retirada ocorre com 5 bolas restantes.
- P(A) = P(primeira não é vermelha) = 4/6 = 2/3, pois há 4 bolas azuis ou amarelas.
- P(B) = P(segunda é vermelha) = 2/6 = 1/3, pois a probabilidade de a segunda bola ser vermelha, sem saber a primeira, é igual à proporção de vermelhas no início.
- Para calcular P(B|A), considere o que sobra após A ocorrer. Se a primeira for azul (3/4 dos casos de A), restam 5 bolas, sendo 2 vermelhas: probabilidade 2/5. Se a primeira for amarela (1/4 dos casos de A), restam 5 bolas, com 2 vermelhas: probabilidade 2/5. Em ambos os casos o resultado é 2/5, logo P(B|A) = 2/5.
- Verificação de independência: A e B são independentes se P(B|A) = P(B). Como 2/5 é diferente de 1/3, os eventos são dependentes. Outra forma de conferir: P(A e B) = 4/15 (a segunda é vermelha e a primeira não), e P(A)P(B) = 2/9, que é diferente de 4/15.
- Alternativa A está errada, pois a primeira bola não é necessariamente vermelha; a afirmação confunde 'não é vermelha' com 'é vermelha'.
- Alternativa C está errada, pois condicionar em A não impede que a segunda bola seja vermelha; apenas a primeira fica restrita às não vermelhas.
- Alternativa D está errada, pois independência depende da relação entre as probabilidades condicionais, e não do número de bolas.
- Alternativa E está errada, pois 1/3 é a probabilidade P(B) sem a condição A, e não P(B|A); além disso, o cálculo ignora que a segunda retirada ocorre com 5 bolas.
- O gabarito B está correto: os eventos são dependentes e P(B|A) = 2/5.
💡 Dica: Calcule as probabilidades considerando as condições dadas.
Alternativa por alternativa
O aluno inverte o sentido de A ('não é vermelha') e trata como se a primeira bola fosse certamente vermelha, chegando a P(B|A)=100%.
Por que engana: Confundir a definição de eventos independentes, acreditando que a retirada de uma bola não afeta a probabilidade da segunda.
Se a primeira não é vermelha, restam 5 bolas e ainda 2 vermelhas, então P(B|A)=2/5. P(B)=2/6=1/3 difere de 2/5, portanto dependentes.
O aluno acha que, se a primeira não é vermelha, a condição elimina as vermelhas de todo o experimento, zerando a chance de a segunda ser vermelha.
O aluno acredita que a independência depende do tamanho da urna, em vez de verificar se a informação sobre a primeira retirada altera a probabilidade da segunda.
O aluno calcula 1/3 como 2/6 e ignora a condição A e a retirada sem reposição, ou seja, usa a probabilidade incondicional P(B) no lugar de P(B|A).
Raio-X da questão
probabilidade condicional
avaliacao
probabilidade básica · eventos independentes
Revisar conceitos de probabilidade e independência de eventos.
Confundir a definição de eventos independentes, acreditando que a retirada de uma bola não afeta a probabilidade da segunda.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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