Sorteia-se, uniformemente, um inteiro n em {1,2,...,12}. Em seguida lança-se uma moeda cuja bias depende de n…

Questão

Sorteia-se, uniformemente, um inteiro n em {1,2,...,12}. Em seguida lança-se uma moeda cuja bias depende de n: se n = 6 a moeda é justa (P(cara)=1/2); se n > 6 a moeda sempre dá cara (P(cara)=1). Seja A = 'a moeda mostra cara' e B = 'n é par'. Calcule P(A), P(B|A), P(A n B) e decida se A e B são independentes, justificando.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

P(B): números pares em {1,...,12} são 6 ? P(B)=6/12=1/2. 2) P(A): usar prob. total: P(n=6)=6/12=1/2 com P(cara|n=6)=1/2; P(n>6)=1/2 com P(cara|n>6)=1. Assim P(A)=(1/2)(1/2)+(1/2)(1)=1/4+1/2=3/4. 3) P(A n B): considere pares: existem 6 valores pares; entre eles 3 estão em {2,4,6} (=6) e 3 em {8,10,12} (>6). Logo P(A n B)=(3/12)(1/2)+(3/12)(1)=3/24+3/12=1/8+1/4=3/8. 4) P(B|A)=P(A n B)/P(A)=(3/8)/(3/4)=1/2. 5) Teste de independência: P(A)P(B)=(3/4)(1/2)=3/8=P(A n B). Portanto A e B são independentes.

Explicação

A análise das probabilidades leva em conta a distribuição uniforme dos inteiros e a influência do valor de n na probabilidade de obter cara ao lançar a moeda. O cálculo de P(A), P(B|A) e P(A n B) utiliza a regra da probabilidade total e a definição de eventos independentes. A verificação da independência é confirmada ao mostrar que o produto P(A)P(B) é igual a P(A n B), indicando que os eventos não afetam um ao outro.

Raio-X da questão

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