Em uma turma há x meninos e 10 meninas, sendo x um número inteiro não negativo. Dois alunos são escolhidos, um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma turma há x meninos e 10 meninas, sendo x um número inteiro não negativo. Dois alunos são escolhidos, um de cada vez, sem devolver o primeiro. Para qual valor de x os eventos “sair menino primeiro” e “sair menina depois” são independentes?
- A) Para todo x positivo.
- B) Somente para x=5.
- C) Somente para x=1.
- D) Somente para x=10.
- E) Somente para x=0.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Defina os eventos. M1 = o primeiro aluno sorteado é menino; F2 = o segundo aluno sorteado é menina. Para que sejam independentes, P(M1 e F2) deve ser igual a P(M1) x P(F2).
- Calcule P(M1) = x/(x+10).
- Calcule P(F2 | M1). Se o primeiro é menino, sobram x-1 meninos e 10 meninas, mas o total cai para x+9 e as meninas continuam 10. Logo P(F2 | M1) = 10/(x+9). Assim, P(M1 e F2) = x/(x+10) x 10/(x+9) = 10x/((x+10)(x+9)).
- Calcule P(F2) pela probabilidade total. P(F2) = [x/(x+10)] x [10/(x+9)] + [10/(x+10)] x [9/(x+9)] = (10x+90)/((x+10)(x+9)) = 10/(x+10). Esse resultado é coerente com a simetria do sorteio: a chance de a segunda pessoa ser menina é igual à proporção de meninas da turma.
- Compare P(M1 e F2) com P(M1) x P(F2). Temos x/(x+10) x 10/(x+10) = 10x/(x+10)^2. Igualando com 10x/((x+10)(x+9)) e dividindo ambos os lados por 10x/(x+10), obtemos 1/(x+9) = 1/(x+10), o que nunca é verdadeiro para x positivo.
- Analise o caso x = 0. Nesse caso P(M1) = 0, logo P(M1 e F2) = 0 e P(M1) x P(F2) = 0. A igualdade vale e os eventos são independentes. Como um evento de probabilidade zero é independente de qualquer outro, este caso é válido.
- Conclusão. Os eventos são independentes somente para x = 0, o que confirma a alternativa E e o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. A) Falsa, pois para x positivo a igualdade nunca se verifica. B) Falsa, pois para x = 5 a probabilidade de o primeiro ser menino é positiva e a dependência permanece. C) Falsa, pois para x = 1 a dependência também permanece. D) Falsa, pois para x = 10 o balanceamento entre meninos e meninas não elimina a dependência causada pela retirada sem reposição.
💡 Dica: Analise a definição de eventos independentes e aplique a fórmula de probabilidade.
Alternativa por alternativa
Acredita que, com muitos alunos, a retirada sem reposição quase não altera as chances, então os eventos seriam independentes para qualquer x positivo. Ignora que a retirada do primeiro aluno altera o total e a composição do segundo sorteio.
Por que engana: O aluno pode confundir a definição de independência de eventos, acreditando que qualquer valor de x que inclua meninos tornaria A e B independentes.
Supõe que um caso intermediário com números 'equilibrados' ou convenientes torna os eventos independentes. Pode ter forçado uma igualdade de frações sem verificar a expressão geral da probabilidade condicional.
Considera que, com apenas um menino, a retirada não altera significativamente as chances e confunde a independência com a ausência de efeito prático. Não percebe que a probabilidade condicional continua diferente da probabilidade marginal.
Imagina que, havendo igual número de meninos e meninas (x = 10), as chances ficam simétricas e, portanto, independentes. Confunde simetria da composição da turma com ausência de dependência entre os sorteios.
Se x>0, a chance de sair uma menina no segundo sorteio depende de quem saiu primeiro, pois o primeiro aluno não é devolvido. A igualdade necessária para a independência só acontece quando x=0, caso em que não há meninos e o primeiro evento é impossível.
Raio-X da questão
probabilidade de eventos independentes
avaliacao
probabilidade de eventos · eventos independentes
Revisar a definição de eventos independentes e como calcular probabilidades.
O aluno pode confundir a definição de independência de eventos, acreditando que qualquer valor de x que inclua meninos tornaria A e B independentes.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cotidiano
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