Um bastão vertical de altura h = 1,20 m está em solo horizontal. A ponta da sombra foi registrada no ponto (x…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um bastão vertical de altura h = 1,20 m está em solo horizontal. A ponta da sombra foi registrada no ponto (x = 1,60 m leste, y = 0,923 m norte) em relação à base do bastão. Usando coordenadas cartesianas no plano horizontal (+x leste, +y norte), determine (a) o ângulo de elevação solar ? (em graus) e (b) a azimute do Sol f medido a partir do norte em direção ao leste (em graus). Use tan ? = h/s, onde s é o comprimento da sombra em m, e para a azimute use f = arctan(x/y) (ângulos em graus).
- A) Elevação ? = 90° e azimute f = 90° a leste do norte.
- B) ? = 20° e f = 75° a leste do norte.
- C) Elevação ? = 60° e azimute f = 45° a leste do norte.
- D) O ângulo de elevação solar ? = 45° e azimute f = 30° a leste do norte.
- E) Elevação ? = 33,0° (aprox.); Azimute f = 60,0° a leste do norte.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Calcular o comprimento da sombra s pelo teorema de Pitágoras no plano horizontal: s = raiz de (1,60^2 + 0,923^2) = raiz de (2,56 + 0,852) = raiz de 3,412, o que dá s ≈ 1,847 m. Passo 2: Calcular a elevação solar pela relação tan θ = h/s = 1,20 / 1,847 ≈ 0,6496. Então θ = arctan(0,6496) ≈ 33,0°. Passo 3: Calcular o azimute pela fórmula indicada no enunciado, φ = arctan(x/y) = arctan(1,60 / 0,923) = arctan(1,733) ≈ 60,0° a leste do norte. Passo 4: Conferir as alternativas. A alternativa E é a única que traz elevação ≈ 33,0° e azimute 60,0°, coincidindo com os valores obtidos, e por isso concordo com o gabarito oficial. Passo 5: Por que as outras estão erradas: na A, elevação de 90° exigiria sombra de comprimento zero, o que não ocorre com x e y não nulos; na B, elevação de 20° daria s ≈ 3,30 m, incompatível com os dados; na C, elevação de 60° daria s ≈ 0,69 m, também incompatível; na D, elevação de 45° daria s = 1,20 m, e o azimute de 30° corresponde a arctan(y/x), não a arctan(x/y). Observação: no sentido físico estrito, a sombra aponta para longe do Sol, de modo que a direção do Sol seria o oposto da direção da sombra (cerca de 240° a partir do norte). Como o enunciado define explicitamente φ = arctan(x/y), a resposta segue essa convenção e leva à alternativa E.
💡 Dica: Calcule a altura e o comprimento da sombra para encontrar os ângulos.
Alternativa por alternativa
O aluno acredita que o Sol está a pino (elevação de 90°), talvez por confundir a sombra curta com ausência de sombra. Não percebe que a ponta da sombra está a 1,60 m e 0,923 m do bastão, o que exige uma sombra de comprimento não nulo.
O aluno calcula o ângulo a partir de uma relação incorreta entre h e s, ou aproxima o ângulo sem fazer a conta de tan θ = h/s. Também não confere se o azimute corresponde ao arctan(x/y) pedido.
Por que engana: Confundir a relação entre a altura do bastão e o comprimento da sombra, resultando em um cálculo incorreto do ângulo de elevação.
O aluno pode ter tomado tan θ = s/h em vez de h/s, obtendo um ângulo grande demais, e atribuiu azimute de 45° por chute ou por simetria visual entre x e y, sem calcular arctan(x/y).
O aluno inverte a razão do azimute, usando arctan(y/x) = arctan(0,577) ≈ 30° em vez de arctan(x/y). Na elevação, supõe s igual a h, o que daria 45°.
Comprimento da sombra s = v(1,60²+0,923²) = 1,847 m; ? = arctan(h/s)=arctan(1,20/1,847)=33,0°; f = arctan(1,60/0,923)=60,0° (medido do norte para o leste).
Raio-X da questão
ângulo de elevação solar
avaliacao
trigonometria básica · coordenadas cartesianas
Revisar as relações trigonométricas e coordenadas cartesianas.
Confundir a relação entre a altura do bastão e o comprimento da sombra, resultando em um cálculo incorreto do ângulo de elevação.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cientifico
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