Um bastão vertical de altura h = 1,00 m em (0,0) projeta sombra cuja extremidade está em (3,0) às 09:00 e em…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um bastão vertical de altura h = 1,00 m em (0,0) projeta sombra cuja extremidade está em (3,0) às 09:00 e em (0,-1,732) às 15:00. Plano horizontal: +x leste, +y norte. Calcule, para cada horário: (a) ângulo de elevação ? do Sol (usar tan ? = h/s, s em m); (b) azimute f da projeção horizontal do vetor solar, medido anticlockwise a partir de +x (usar atan2).
- A) 09:00: s=4, ?=22,62°; azimute f=90° (norte). 15:00: s=2,732, ?=45°; azimute f=270° (sul).
- B) 09:00: s=3, ?=15°; azimute f=135° (noroeste). 15:00: s=2,732, ?=60°; azimute f=180° (oeste).
- C) 09:00: s=2, ?=26,57°; azimute f=45° (nordeste). 15:00: s=3,732, ?=60°; azimute f=225° (sudeste).
- D) 09:00: s=3, ?=arctan(1/3)=18,43°; azimute f=180° (oeste). 15:00: s=1,732, ?=arctan(1/1,732)=30,00°; azimute f=90° (norte).
- E) 09:00: s=1,732, ?=30°; azimute f=270° (sul). 15:00: s=3, ?=36,87°; azimute f=0° (leste).
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Use a relação tan(θ) = h/s, com h = 1,00 m. A sombra é o segmento do pé do bastão (0,0) até a extremidade, então s é a distância desse ponto até a extremidade. Passo 2: Às 09:00 a extremidade está em (3,0). A sombra tem comprimento s = 3 m e aponta na direção +x, que é leste. Logo tan(θ) = 1/3, θ = arctan(1/3) ≈ 18,43°. Como a sombra aponta para leste, o Sol está a oeste, e o vetor solar tem azimute φ = 180° (oeste). Passo 3: Às 15:00 a extremidade está em (0,-1,732). A sombra tem s = 1,732 m e aponta na direção -y, que é sul. Logo tan(θ) = 1/1,732 ≈ 0,5774, θ = 30,00°. Como a sombra aponta para o sul, o Sol está ao norte, e φ = 90° (norte). Passo 4: Conferência com o gabarito. Os valores encontrados coincidem com a alternativa D, então o gabarito oficial está correto. Passo 5: Por que as outras estão erradas. A: o comprimento 4 não corresponde à coordenada (3,0), e a direção 90° contraria a sombra para leste. B: o ângulo de 15° não corresponde a tan = 1/3, e o azimute 135° não coincide com a direção da sombra. C: o comprimento 2 não corresponde à coordenada (3,0), e o comprimento 3,732 não corresponde a (0,-1,732). E: os horários estão trocados, pois 1,732 corresponde às 15:00 e 3 às 09:00.
💡 Dica: Calcule a altura e a distância da sombra para encontrar os ângulos.
Alternativa por alternativa
O aluno soma a altura do bastão ao comprimento da sombra (3 + 1 = 4 e 1,732 + 1 = 2,732), tratando s como se fosse uma distância diferente da coordenada da extremidade. Além disso, inverte a direção da sombra, colocando o azimute como norte e sul.
Por que engana: Confundir os valores de s e calcular o ângulo de elevação incorretamente, levando a um azimute errado.
O aluno calcula mal o ângulo de elevação, tomando 15° para tan = 1/3 e 60° para s = 1,732 com h = 1, o que mostra confusão com a relação tan(θ) = h/s. Também associa a direção da sombra a noroeste e oeste, misturando as componentes x e y.
O aluno lê a extremidade (3,0) como s = 2 e (0,-1,732) como s = 3,732, provavelmente somando coordenadas ou valores absolutos de forma errada. Por isso o ângulo de 26,57° (arctan de 1/2) e o azimute de 45° ou 225° ficam sem relação com a sombra real.
Calcule s = distância entre (0,0) e extremidade da sombra. Para 09:00 s=3 m ? ?=arctan(h/s)=arctan(1/3)=18,43°. A projeção horizontal do Sol é do ponto sombra para a base: vetor (-3,0) ? azimute atan2(0,-3)=180°. Para 15:00 s=v(0^2+1,732^2)=1,732 m ? ?=arctan(1/1,732)=30,00°; vetor (0,1,732) ? atan2(1,732,0)=90°.
O aluno troca os horários, associando o comprimento 1,732 às 09:00 e o comprimento 3 às 15:00. Também inverte o sentido da sombra, dando azimute sul às 09:00 e leste às 15:00.
Raio-X da questão
ângulo de elevação e azimute
avaliacao
ângulo de elevação · azimute
Revisar trigonometria e cálculo de ângulos em coordenadas.
Confundir os valores de s e calcular o ângulo de elevação incorretamente, levando a um azimute errado.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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