Num plano horizontal com +x para leste e +y para norte, um poste vertical de h = 2,00 m tem ponta da sombra na…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Num plano horizontal com +x para leste e +y para norte, um poste vertical de h = 2,00 m tem ponta da sombra na coordenada (x,y) = (-4,00; 2,00) m às 15:00. Determine (a) o ângulo de elevação ? do Sol e (b) o azimute do Sol A medido a partir do norte no sentido leste (0° = norte, 90° = leste). Forneça valores em graus.
- A) ? ˜ 45,0°; azimute A ˜ 270°
- B) ? ˜ 15,0°; azimute A ˜ 90°
- C) ? ˜ 90°; azimute A ˜ 0°
- D) ? ˜ 62,0°; azimute A ˜ 180°
- E) ? ˜ 24,0°; azimute A ˜ 116,6° (0° norte ? sentido leste)
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- A sombra vai da base do poste (origem, (0,0)) até a ponta (-4,00; 2,00). Seu comprimento é L = raiz de (16 + 4) = raiz de 20, aproximadamente 4,47 m. Passo 2: O ângulo de elevação do Sol é o ângulo da reta do Sol com o chão. No triângulo formado pelo poste (h = 2,00 m) e pela sombra (L), tan(theta) = h/L = 2/4,47 = 0,447, então theta = arctan(0,447), aproximadamente 24,0°. Passo 3: A sombra aponta para a direção do vetor (-4; 2), ou seja, para oeste com componente para norte. O Sol está na direção oposta, então o vetor de direção do Sol é (4; -2): 4 unidades para leste e 2 para sul. Passo 4: O azimute é medido a partir do norte, no sentido horário (leste = 90°). Usando azimute = arctan2(componente leste, componente norte) = arctan2(4, -2), obtemos 180° - arctan(4/2) = 180° - 63,4° = 116,6°. Passo 5: Conclusão: elevação de 24,0° e azimute de 116,6°, o que corresponde à alternativa E, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A tem elevação de 45° (só ocorre se a sombra fosse igual à altura) e azimute oeste, que é a direção da sombra e não a do Sol; B tem elevação de 15° e azimute leste, que ignora a componente sul; C supõe Sol a pino (90°), o que daria sombra nula, e azimute norte; D tem elevação de 62°, que é próxima de arctan(4/2) e não de arctan(2/4), e azimute sul, que ignora a componente leste.
💡 Dica: Utilize a trigonometria para calcular os ângulos.
Alternativa por alternativa
Trata a elevação como 45°, como se a sombra tivesse o mesmo comprimento da altura do poste, e toma a direção da sombra (oeste) como a direção do Sol.
Por que engana: Confundir a relação entre a altura do poste e a distância da sombra, resultando em um cálculo incorreto do ângulo de elevação.
Calcula a elevação de forma imprecisa, sem usar a razão h/L, e assume que o Sol está a leste por ver a sombra apenas como deslocada no eixo x, ignorando a componente y.
Acredita que o Sol está a pino (90°) porque o poste projeta sombra pequena, e considera o norte como direção do Sol ignorando a componente x da sombra.
Inverte a razão trigonométrica ao calcular o ângulo (usa arctan(L/h) em vez de arctan(h/L)) e indica o sul como direção do Sol, ignorando a componente leste.
r = v(x²+y²)=v20=4,472 m ? ?=arctan(h/r)=arctan(2,00/4,472)˜24,0°. Azimute da sombra A_som = arctan2(x,y)=arctan2(-4,2)=296,565°; azimute do Sol = (A_som+180°) mod360 ˜116,565° ˜116,6°.
Raio-X da questão
ângulo de elevação e azimute
avaliacao
trigonometria no plano · sistemas de coordenadas
Revisar conceitos de trigonometria aplicados a ângulos e sombras.
Confundir a relação entre a altura do poste e a distância da sombra, resultando em um cálculo incorreto do ângulo de elevação.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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