Durante uma missão espacial brasileira em órbita terrestre, um radionuclídeo é usado para monitorar a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante uma missão espacial brasileira em órbita terrestre, um radionuclídeo é usado para monitorar a exposição dos instrumentos à radiação. No referencial da Terra, o veículo permanece em movimento retilíneo uniforme durante ?t = 1,00 × 10^5 s. O radionuclídeo tem meia-vida própria T1/2 = 2,00 × 10^5 s, e a atividade medida ao final da viagem deve ser 90% da atividade inicial. Considere a velocidade da luz c = 3,00 × 10^8 m/s. Para o decaimento radioativo, use A/A0 = 2^(-?t_própria/T1/2) e, para a dilatação relativística do tempo, ?t_própria = ?t/?, com ? = 1/v(1 - v²/c²). Com base nas informações do texto, qual deve ser, aproximadamente, a velocidade do veículo para que a dilatação do tempo faça a atividade do radionuclídeo atingir 90% do valor inicial?
- A) A velocidade necessária é 5,00 × 10^8 m/s.
- B) A velocidade necessária é 2,86 × 10^8 m/s.
- C) A velocidade necessária é 1,00 × 10^6 m/s.
- D) A velocidade necessária é 3,00 × 10^8 m/s.
- E) A velocidade necessária é 1,50 × 10^8 m/s.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Calcule a fração de decaimento necessária. A/A0 = 0,90 = 2^(-tp/T1/2), em que tp é o tempo próprio. Logo tp/T1/2 = -log2(0,90) = 0,1520, e tp = 0,1520 × 2,00 × 10^5 s = 3,04 × 10^4 s. Passo 2: Use a relação de dilatação do tempo. Como tp = Δt/γ, temos γ = Δt/tp = 1,00 × 10^5 / 3,04 × 10^4 = 3,29. Interpretamos a fórmula do enunciado, que está com símbolos corrompidos, como o fator de Lorentz padrão γ = 1/raiz(1 - v²/c²). Passo 3: Isole a velocidade. 1/γ² = 1 - v²/c², logo v²/c² = 1 - 1/γ² = 1 - 0,0924 = 0,9076, e v/c = 0,9527. Passo 4: Calcule o valor final. v = 0,9527 × 3,00 × 10^8 m/s = 2,86 × 10^8 m/s, que corresponde à alternativa B. Passo 5: Confira o gabarito. O gabarito oficial B está correto. A alternativa A é impossível, pois ultrapassa a velocidade da luz. A alternativa C é muito lenta para produzir dilatação relevante. A alternativa D é igual a c, o que daria γ infinito. A alternativa E fornece dilatação insuficiente.
💡 Dica: Utilize a fórmula da dilatação do tempo e a relação da atividade do radionuclídeo.
Alternativa por alternativa
O aluno ignora que nenhuma velocidade material pode ser igual ou superior a c, e acha que basta um valor grande para obter a dilatação desejada.
Por que engana: Confundir a relação entre a velocidade e a dilatação do tempo, escolhendo uma velocidade que não considera corretamente a relatividade.
A atividade desejada satisfaz 0,90 = 2^(-Δt_própria/T₁/₂). Assim, Δt_própria = -T₁/₂ log₂(0,90) ≈ 3,04 × 10^4 s. Como Δt_própria = Δt/γ, obtém-se γ = (1,00 × 10^5)/(3,04 × 10^4) ≈ 3,29. Portanto, v = c√(1 - 1/γ²) ≈ (3,00 × 10^8)√(1 - 1/3,29²) ≈ 2,86 × 10^8 m/s.
O aluno aplica a fórmula de forma errada, achando que uma velocidade muito pequena pode produzir a dilatação necessária, e pode estar errando a potência de dez no cálculo.
O aluno acha que a velocidade deve ser exatamente a da luz, sem perceber que nesse limite o fator de Lorentz tenderia ao infinito e a relação não se sustenta com um valor finito de γ.
O aluno calcula de forma incorreta a relação entre v/c e γ, como uma raiz ou uma inversão mal feita, e chega a um valor que produz dilatação menor que a exigida.
Raio-X da questão
dilatação do tempo
avaliacao
dilatação do tempo · teoria da relatividade
Revisar a teoria da relatividade e a decaimento radioativo.
Confundir a relação entre a velocidade e a dilatação do tempo, escolhendo uma velocidade que não considera corretamente a relatividade.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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