Num balanço por corda, um participante de massa m = 68 kg está preso ao fim de uma corda de comprimento L =…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Analisar e representar, com ou sem o uso de dispositivos e de aplicativos digitais específicos, as transformações e conservações em sistemas que envolvam quantidade de matéria, de energia e de movimento para realizar previsões sobre seus comportamentos em situações cotidianas e em processos produtivos que priorizem o desenvolvimento sustentável, o uso consciente dos recursos naturais e a preservação da vida em todas as suas formas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Num balanço por corda, um participante de massa m = 68 kg está preso ao fim de uma corda de comprimento L = 6,0 m. A corda suporta tensão máxima Tmax = 2200 N. Partindo do repouso em ângulo ? (em relação à vertical), a velocidade no ponto mais baixo é v = v(2 g L (1-cos?)). No fundo a tensão é T = m g + m v²/L. Use g = 10 m/s². Determine o maior ângulo ?_max (em graus) tal que T = Tmax.
- A) ?_max ˜ 30°
- B) ?_max ˜ 85°
- C) ?_max ˜ 120°
- D) ?_max ˜ 96,8° em relação à vertical (arccos(-0,11765)).
- E) ?_max ˜ 45°
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Escrevemos a tensão no fundo em função do ângulo. Como v² = 2gL(1 - cos θ), temos T = mg + m·2gL(1 - cos θ)/L = mg(3 - 2 cos θ). Considerei v = raiz de 2gL(1 - cos θ), pois a raiz está ilegível no enunciado. Passo 2: Calculamos mg = 68 × 10 = 680 N. Passo 3: Fazemos T = Tmax = 2200 N, o que dá 3 - 2 cos θ = 2200/680 ≈ 3,2353. Passo 4: Então -2 cos θ = 0,2353, logo cos θ ≈ -0,11765. Passo 5: θ = arccos(-0,11765) ≈ 96,8°, ou seja, 90° + arcsen(0,11765) ≈ 90° + 6,8°. Passo 6: A tensão cresce quando θ aumenta, pois cos θ diminui. Logo este é o maior ângulo permitido. Conferência: em θ = 90°, T = 3mg = 2040 N, abaixo de 2200 N, o que é coerente com um ângulo um pouco acima de 90°. Passo 7: Comparação com o gabarito: a alternativa D está correta e coincide com o gabarito oficial. As outras estão erradas: A) 30° dá T ≈ 862 N, muito abaixo de 2200 N. B) 85° dá T ≈ 1922 N, ainda abaixo do limite. C) 120° dá T = 2720 N, acima do limite. E) 45° dá T ≈ 1079 N, bem abaixo do limite.
💡 Dica: Aplique a fórmula da tensão e resolva para o ângulo máximo.
Alternativa por alternativa
Imagina que o ângulo limite é pequeno, talvez por confundir a tensão com o peso ou por ignorar o termo de energia ao calcular T. Não percebe que a tensão no fundo cresce com o ângulo inicial.
Por que engana: Confundir a relação entre a tensão e a força gravitacional, subestimando a velocidade no ponto mais baixo.
Supõe que o limite ocorre quando a corda fica quase horizontal e chuta um valor próximo de 90° sem calcular T. Não percebe que em 90° a tensão ainda é 2040 N, abaixo do máximo.
Acredita que, após 90°, a relação se inverte, ou erra o sinal do cosseno ao passar de 90°. Com cos 120° = -0,5 obteria T = 2720 N, que ultrapassa o limite, então a conclusão estaria errada.
Com v² = 2 g L(1-cos?), T = m g + 2 m g (1-cos?) = m g(3-2 cos?) = Tmax ? cos? = (3-Tmax/(m g))/2 ? ? = arccos(-0,11765) ˜96,8°.
Usa o seno no lugar do cosseno, ou supõe que a tensão varia proporcionalmente ao ângulo e que 45° é o ponto médio entre 0° e 90°. Não aplica a expressão T = mg(3 - 2 cos θ).
Raio-X da questão
tensão em balanço
avaliacao
tensão em balanço · movimento circular
Revisar as fórmulas de movimento circular e tensão em cordas.
Confundir a relação entre a tensão e a força gravitacional, subestimando a velocidade no ponto mais baixo.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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