Em uma missão brasileira de monitoramento ambiental, um satélite em órbita baixa transmite dados para uma…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma missão brasileira de monitoramento ambiental, um satélite em órbita baixa transmite dados para uma estação terrestre. Durante uma transmissão, um relógio instalado no satélite mede um intervalo próprio de 1,00×10^4 s, isto é, o intervalo medido no referencial em que o relógio está em repouso. Nesse período, o satélite se desloca em relação à estação terrestre com velocidade constante de 4,00×10^3 m/s. Para velocidades muito menores que a da luz, ainda se pode aplicar a expressão exata da dilatação do tempo da relatividade restrita: t = t0/v(1 - v^2/c^2), em que c = 3,00×10^8 m/s. Com base no texto, qual é, aproximadamente, o intervalo de tempo t medido pela estação terrestre durante a transmissão?
- A) t ≈ 1,0000133333333×10^4 s
- B) t ≈ 0,9999999998222×10^4 s
- C) t ≈ 1,0000000000889×10^4 s
- D) t ≈ 0,9999999999111×10^4 s
- E) t ≈ 1,0000000001778×10^4 s
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identificar a grandeza pedida. O relógio está em repouso no satélite, então t0 = 1,00×10^4 s é o intervalo próprio. A estação terrestre mede t, o intervalo no referencial em que o satélite se move. Como o enunciado escreve a fórmula de forma truncada, a expressão usada na relatividade restrita é t = t0 / raiz de (1 - v^2/c^2), que é a única compatível com as alternativas.
- Calcular a razão v/c. v/c = 4,00×10^3 / 3,00×10^8 = 1,3333×10^-5. Logo, (v/c)^2 = v^2/c^2 = 1,7778×10^-10.
- Aproximar o fator de dilatação. Para x muito pequeno, 1/raiz de (1 - x) ≈ 1 + x/2. Assim, o fator vale 1 + 8,8889×10^-11.
- Calcular t. t ≈ 1,00×10^4 × (1 + 8,8889×10^-11) = 1,0000000000889×10^4 s, que corresponde à alternativa C.
- Comparar com as outras alternativas. A usa v/c em vez de (v/c)^2, o que dá um efeito muito maior. B inverte a operação e multiplica por (1 - x) em vez de dividir. D também inverte o sinal da correção. E usa 1 + x sem o fator 1/2. Logo, o gabarito oficial C está correto e a resposta é C.
💡 Dica: Aplique a fórmula da dilatação do tempo corretamente.
Alternativa por alternativa
O aluno usou v/c diretamente na correção, como se o efeito fosse proporcional à velocidade, e não ao quadrado da razão v/c. O resultado 1,33×10^-5 é a primeira ordem errada da correção.
O aluno multiplicou t0 por (1 - v^2/c^2), o que faz o tempo diminuir, quando a dilatação deveria aumentá-lo. Ele inverteu a operação e o sentido do efeito.
Por que engana: Confundir a fórmula da dilatação do tempo e não aplicar corretamente a velocidade em relação à velocidade da luz.
O intervalo próprio é t0 = 1,00×10^4 s. Aplicando a expressão t = t0/√(1 − v^2/c^2), obtém-se v^2/c^2 = (4,00×10^3/3,00×10^8)^2 ≈ 1,7778×10^−10. Assim, o fator de dilatação é aproximadamente 1 + 1,7778×10^−10/2 = 1,0000000000889. Portanto, t ≈ 1,0000000000889×10^4 s.
O aluno acertou a ordem de grandeza da correção, mas subtraiu x/2 em vez de somar, invertendo o sinal da dilatação. Também pode ter confundido a expansão de 1/raiz de (1 - x) com a de raiz de (1 - x).
O aluno aproximou o fator por 1 + x, esquecendo o fator 1/2 da expansão 1 + x/2. Assim, a correção ficou o dobro do valor correto.
Raio-X da questão
dilatação do tempo
avaliacao
dilatação do tempo · relatividade restrita
Revisar os conceitos de relatividade restrita e dilatação do tempo.
Confundir a fórmula da dilatação do tempo e não aplicar corretamente a velocidade em relação à velocidade da luz.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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