No plano cartesiano, sejam P(3,7) e Q(9,1). a) Determine o ponto médio M do segmento PQ. b) Calcule a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No plano cartesiano, sejam P(3,7) e Q(9,1). a) Determine o ponto médio M do segmento PQ. b) Calcule a distância PQ (resposta exata).
- A) M(6,3); PQ = 10.
- B) M(6,4); PQ = 6v2.
- C) M(9,1); PQ = 12.
- D) M(4,5); PQ = 8v2.
- E) M(5,5); PQ = 5v2.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Ponto médio. Para o ponto médio M de P(3,7) e Q(9,1), somam-se as abscissas e as ordenadas e divide-se cada soma por 2. Então xM = (3 + 9)/2 = 6 e yM = (7 + 1)/2 = 4, logo M(6,4). Passo 2: Distância. A distância PQ é a raiz de (xQ - xP)^2 + (yQ - yP)^2. Temos (9 - 3)^2 = 36 e (1 - 7)^2 = 36, somando 72. Logo PQ = raiz de 72 = raiz de 36 vezes 2 = 6 raiz de 2. Passo 3: Conferência. A alternativa B traz exatamente M(6,4) e PQ = 6 raiz de 2, portanto o gabarito oficial está correto. Passo 4: Por que as outras estão erradas. A tem a ordenada do ponto médio errada (3 em vez de 4) e a distância 10 não corresponde a nenhuma diferença correta das coordenadas. C confunde o ponto médio com o próprio ponto Q(9,1) e calcula a distância como soma dos catetos (6 + 6 = 12), e não pela raiz da soma dos quadrados. D troca ou lê mal as coordenadas do ponto médio (4,5) e a distância 8 raiz de 2 vem de diferenças erradas, como 9 - 1 e 7 + 1. E calcula as médias misturando coordenadas e obtém M(5,5), além de uma distância 5 raiz de 2 sem relação com as diferenças corretas (6 e -6).
💡 Dica: Calcule o ponto médio e a distância usando as fórmulas apropriadas.
Alternativa por alternativa
Calculou a ordenada do ponto médio como 3 em vez de 4 e, na distância, usou 8 como diferença vertical, somando 7 + 1 em vez de subtrair. Com isso obteve raiz de (36 + 64) = 10.
Por que engana: Confundir as coordenadas ao calcular o ponto médio, resultando em valores incorretos.
Ponto médio: ((3+9)/2,(7+1)/2)=(6,4). Diferenças ?x=6, ?y=-6 ? distância v(6²+(-6)²)=v72=6v2.
Tomou as coordenadas de Q como se fossem o ponto médio e, na distância, somou os catetos (6 + 6 = 12) em vez de usar a raiz da soma dos quadrados. Acredita que a distância é a soma das diferenças horizontal e vertical.
Leu mal as coordenadas ao calcular a média (obtendo x = 4 e y = 5) e, na distância, usou diferenças de 8 e 8 (9 - 1 e 7 + 1), sinalizando erro ao subtrair as coordenadas.
Calculou as médias misturando coordenadas e obteve M(5,5), e na distância usou diferenças que não correspondem a 6 e 6, chegando a raiz de 50 = 5 raiz de 2.
Raio-X da questão
ponto médio e distância
fixacao
ponto médio · distância entre pontos
Revisar as fórmulas do ponto médio e da distância entre dois pontos.
Confundir as coordenadas ao calcular o ponto médio, resultando em valores incorretos.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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