No plano cartesiano, sejam P(-1,0) e Q(3,4). Determine, sem usar fórmulas prontas, o ponto médio M do segmento…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No plano cartesiano, sejam P(-1,0) e Q(3,4). Determine, sem usar fórmulas prontas, o ponto médio M do segmento PQ e a distância entre P e Q.
- A) M = (1,2); PQ = 4v2 ˜ 5.657
- B) M = (0,0); PQ = 10;
- C) M = (0,2); PQ = 4;
- D) M = (1,4); PQ = 8;
- E) M = (2,0); PQ = 3;
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Ponto médio. Para achar M, faça a média das abscissas e a média das ordenadas. Abscissa: (-1 + 3)/2 = 1. Ordenada: (0 + 4)/2 = 2. Logo M = (1, 2).
- Distância entre P e Q. Calcule as variações horizontal e vertical. Horizontal: 3 - (-1) = 4. Vertical: 4 - 0 = 4. Pelo teorema de Pitágoras (o segmento PQ é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos 4 e 4), PQ = raiz de (4^2 + 4^2) = raiz de 32 = 4 vezes raiz de 2, que é aproximadamente 5,657.
- Conclusão. O par correto é M = (1, 2) e PQ = 4 raiz de 2, exatamente a alternativa A, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. B traz o ponto médio errado, que não corresponde à média das coordenadas, e a distância 10 também não sai dos dados. C tem a abscissa errada do ponto médio e uma distância que ignora a variação horizontal. D usa a coordenada de Q como se fosse o ponto médio e soma os catetos em vez de usar Pitágoras. E erra as duas coisas: não faz a média das coordenadas e a distância 3 não corresponde ao segmento PQ.
💡 Dica: Calcule o ponto médio e a distância usando as coordenadas.
Alternativa por alternativa
O ponto médio é a média das coordenadas: M = ((-1+3)/2,(0+4)/2)=(1,2). A distância é o comprimento do deslocamento: ?x=4, ?y=4, logo PQ=v(4²+4²)=v32=4v2.
O aluno provavelmente tomou a origem como ponto médio, sem calcular as médias das coordenadas, e obteve a distância 10 por um cálculo incorreto dos catetos ou da raiz.
O aluno calculou a abscissa do ponto médio como 0, provavelmente somando -1 com 1 em vez de 3, e considerou a distância igual apenas à variação vertical de 4, ignorando a variação horizontal.
Por que engana: O aluno pode confundir as coordenadas ao calcular o ponto médio, resultando em um valor incorreto.
O aluno usou a ordenada de Q como ordenada do ponto médio e somou os catetos (4 + 4 = 8) em vez de aplicar Pitágoras, tratando a distância como soma das diferenças e não como hipotenusa.
O aluno somou as abscissas sem dividir por 2 e pegou a ordenada de P como ponto médio, e calculou a distância 3 usando apenas a distância de Q até o eixo vertical, ignorando o ponto P.
Raio-X da questão
ponto médio e distância
avaliacao
ponto médio · distância entre pontos
Revisar as fórmulas de ponto médio e distância no plano cartesiano.
O aluno pode confundir as coordenadas ao calcular o ponto médio, resultando em um valor incorreto.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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