No plano cartesiano, determine o ponto médio e a distância entre P(-2, 5) e Q(4, 1). Apresente as respostas…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No plano cartesiano, determine o ponto médio e a distância entre P(-2, 5) e Q(4, 1). Apresente as respostas exatas.
- A) Ponto médio M(2, 3); distância PQ = v20.
- B) Ponto médio M(0, 4); distância PQ = 6.
- C) Ponto médio M(3, 2); distância PQ = 5.
- D) Ponto médio M(1, 3); distância PQ = v52 = 2v13.
- E) Ponto médio M(1, 2); distância PQ = 3v13.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Ponto medio. Pela formula, M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2). Com P(-2, 5) e Q(4, 1): xM = (-2 + 4)/2 = 2/2 = 1 e yM = (5 + 1)/2 = 6/2 = 3. Logo M(1, 3).
- Distancia. A formula e d = raiz de ((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2). Temos x2 - x1 = 4 - (-2) = 6 e y2 - y1 = 1 - 5 = -4. Entao d = raiz de (6^2 + (-4)^2) = raiz de (36 + 16) = raiz de 52.
- Forma exata simplificada. 52 = 4 * 13, logo raiz de 52 = 2 * raiz de 13. Assim PQ = 2 raiz de 13, que corresponde a alternativa D.
- Conferencia com o gabarito. Resolvi sem usar o gabarito e cheguei a D, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estao erradas. A: o ponto medio (2, 3) esquece de dividir a soma das abscissas por 2, e a distancia raiz de 20 nao corresponde a diferenca correta das coordenadas. B: o ponto medio (0, 4) e calculo incorreto das medias, e a distancia 6 considera apenas a diferenca horizontal, ignorando a vertical. C: o ponto medio (3, 2) e a metade da diferenca das coordenadas, nao a media, e a distancia 5 vem de um calculo que nao usa as diferencas corretas. E: o ponto medio (1, 2) erra a media da ordenada (5 + 1 = 6 e nao 4), e a distancia 3 raiz de 13 = raiz de 117 nao corresponde a 6^2 + 4^2 = 52.
💡 Dica: Calcule as médias das coordenadas e aplique a fórmula da distância entre dois pontos.
Alternativa por alternativa
Calculou a soma das abscissas (-2 + 4 = 2) e nao dividiu por 2 para obter a media; na distancia, usou diferencas que nao correspondem as coordenadas (raiz de 20 = raiz de 4^2 + 2^2).
Acredita que a distancia e apenas a diferenca em uma unica coordenada (|4 - (-2)| = 6), ignorando a diferenca vertical; o ponto medio (0, 4) tambem resulta de media mal calculada.
Confunde ponto medio com metade da diferenca entre as coordenadas ((4 - (-2))/2 = 3 e (5 - 1)/2 = 2) e, na distancia, usa 3 e 4 como catetos, sem a formula completa.
Ponto médio M = ((-2+4)/2, (5+1)/2) = (1,3). Distância PQ = v[(4-(-2))^2 + (1-5)^2] = v(6^2+(-4)^2) = v(36+16) = v52 = 2v13.
Erro de aritmetica na media da ordenada (5 + 1 subtraido ou somado errado, resultando em 2 em vez de 3) e na soma dos quadrados, chegando a 117 em vez de 52.
Por que engana: Confundir a ordem das coordenadas ao calcular o ponto médio ou somar os quadrados das diferenças sem extrair a raiz na fórmula da distância.
Raio-X da questão
Ponto médio e distância
avaliacao
Operações com coordenadas cartesianas · Teorema de Pitágoras
Revise as fórmulas do ponto médio e da distância entre dois pontos no plano cartesiano.
Confundir a ordem das coordenadas ao calcular o ponto médio ou somar os quadrados das diferenças sem extrair a raiz na fórmula da distância.
tomada_decisao
abstrato
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