No plano cartesiano, considere os pontos P(-1,2) e Q(4,-3). a) Deduzir a fórmula da distância entre dois…

Questão

No plano cartesiano, considere os pontos P(-1,2) e Q(4,-3). a) Deduzir a fórmula da distância entre dois pontos (x1,y1) e (x2,y2) usando o teorema de Pitágoras. b) Calcular a distância PQ. c) Determine as coordenadas do ponto médio M entre P e Q e escreva a equação da circunferência de centro M que passa por P.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Para pontos (x1,y1) e (x2,y2), constrói-se o triângulo retângulo cujos catetos são |x2-x1| e |y2-y1|. Pelo teorema de Pitágoras, a distância d satisfaz d^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2, logo d=v[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]. b) Para P(-1,2) e Q(4,-3): ?x=4-(-1)=5, ?y=-3-2=-5. Então PQ=v(5^2+(-5)^2)=v(25+25)=v50=5v2. c) Ponto médio M = ((x1+x2)/2,(y1+y2)/2) = ((-1+4)/2,(2+(-3))/2) = (3/2,-1/2). A distância MP é metade de PQ: r=PQ/2=(5v2)/2. A equação da circunferência com centro M e raio r é (x-3/2)^2+(y+1/2)^2=r^2. Como r^2=((5v2)/2)^2=(25·2)/4=25/2, a equação fica (x-3/2)^2+(y+1/2)^2=25/2.

Explicação

A dedução da fórmula da distância utiliza o teorema de Pitágoras, relacionando a distância entre dois pontos às diferenças de suas coordenadas. O cálculo da distância entre os pontos P e Q é feito utilizando essa fórmula, enquanto o ponto médio é encontrado pela média das coordenadas, e a equação da circunferência é formulada com base nesse ponto e no raio, que é a metade da distância entre P e Q. Todos os passos seguem a lógica matemática e as propriedades geométricas dos pontos no plano cartesiano.

Raio-X da questão

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