Num polígono regular de n=3 lados com raio circunscrito R = s/(2 sin(p/n)) e primeiro vértice em (R,0)…

Questão

Num polígono regular de n=3 lados com raio circunscrito R = s/(2 sin(p/n)) e primeiro vértice em (R,0), escreva as coordenadas do k-ésimo vértice (k = 1,...,n) em função de R, n e k.

1. A) (x_k,y_k) = (s·cos(2p(k-1)/n), s·sin(2p(k-1)/n))
2. B) (x_k,y_k) = (kn, R·sin(2p(k-1)/n))
3. C) (x_k,y_k) = (R·cos(2p(k-1)/n), R·sin(2p(k-1)/n)).
4. D) (x_k,y_k) = (R·cos(p(k-1)/n), R·sin(p(k-1)/n))
5. E) (x_k,y_k) = (R·sin(2p(k-1)/n), R·cos(2p(k-1)/n))

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Pela definição, o polígono regular de n lados inscrito em uma circunferência de raio R tem seus vértices igualmente espaçados sobre essa circunferência. O ângulo central entre dois vértices consecutivos é 2p/n (p é pi), então o k-ésimo vértice fica no ângulo 2p(k-1)/n medido a partir do eixo x. Passo 2: Como o vértice está sobre a circunferência de raio R, suas coordenadas em um sistema com centro na origem são (R·cos(2p(k-1)/n), R·sin(2p(k-1)/n)). Passo 3: Verificação com o primeiro vértice: para k = 1, o ângulo é 0, logo o ponto é (R·cos 0, R·sin 0) = (R, 0), exatamente como o enunciado exige. Passo 4: Por isso a alternativa correta é a C, que coincide com o gabarito oficial. Passo 5: A alternativa A está errada porque usa s (o lado) no lugar de R (o raio), e o lado não é a distância do centro aos vértices. Passo 6: A alternativa B está errada porque kn não é uma coordenada coerente, já que o número de lados não varia com a posição do vértice, e a coordenada y não depende de forma correta do ângulo. Passo 7: A alternativa D está errada porque usa o ângulo p(k-1)/n, que é a metade do ângulo central correto, então os vértices ficariam na posição errada. Passo 8: A alternativa E está errada porque troca seno e cosseno, o que faz o primeiro vértice cair em (0, R) sobre o eixo y, e não em (R, 0) como pedido.

💡 Dica: Utilize a fórmula das coordenadas dos vértices de um polígono regular.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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