Demonstre a expressão para o raio R do círculo circunscrito de um polígono regular de n lados (n=3) em função…

Questão

Demonstre a expressão para o raio R do círculo circunscrito de um polígono regular de n lados (n=3) em função do comprimento do lado s>0. Escreva a fórmula de R em termos de s e n.

1. A) R = 5 cm; ângulo central = 60°
2. B) R = 10 cm; ângulo central = 30°
3. C) R = s / (2·sin(p/n)).
4. D) R = 2,5 cm; ângulo central = 90°
5. E) R = 7 cm; ângulo central = 45°

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Em um polígono regular de n lados, o ângulo central (formado por O, centro da circunferência circunscrita, e dois vértices consecutivos) mede 360° / n. Logo, o triângulo formado por O e por um lado de comprimento s é isósceles, com dois lados iguais a R e base s.
2. Traçando a altura do triângulo isósceles a partir de O até o ponto médio do lado s, obtém-se dois triângulos retângulos. Em cada um, o ângulo em O mede a metade do ângulo central, ou seja, pi/n radianos (180° / n). O cateto oposto a esse ângulo mede s/2 e a hipotenusa é R.
3. Pela definição de seno no triângulo retângulo, sen(pi/n) = (s/2) / R. Isolando R, obtém-se R = s / (2·sen(pi/n)). Essa é a fórmula geral, em função de s e n. (Na alternativa C, 'p/n' deve ser lido como pi/n.)
4. Verificação para n = 3 (triângulo equilátero): R = s / (2·sen 60°) = s / (2·raiz de 3 / 2) = s / raiz de 3 = s·raiz de 3 / 3. Esse é o resultado conhecido para o raio do círculo circunscrito de um triângulo equilátero, o que confirma a fórmula.
5. Por que as demais estão erradas: a alternativa A fixa R em 5 cm, ignorando que R depende de s, e seu ângulo central de 60° não corresponde a um triângulo (que tem 120°). A alternativa B fixa R em 10 cm e usa 30°, que não é o ângulo central de nenhum triângulo regular. A alternativa D fixa R em 2,5 cm e usa 90°, que é o ângulo central do quadrado. A alternativa E fixa R em 7 cm e usa 45°, que é o ângulo central do octógono. Nenhuma delas é uma expressão em função de s e n, como o enunciado pede.
6. Conclusão: a alternativa correta é a C, que coincide com o gabarito oficial.

💡 Dica: Considere a relação entre o lado e o raio do círculo circunscrito.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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