Em um polígono regular de n lados (n = 3) inscrito numa circunferência de centro O, com vértices consecutivos…

Questão

Em um polígono regular de n lados (n = 3) inscrito numa circunferência de centro O, com vértices consecutivos A1, A2, ..., An, determine em função de n e k (inteiro, 2 = k = n) a medida do ângulo ? no vértice A1 entre o segmento A1Ak e o lado A1A2. Demonstre usando relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

O ângulo central correspondente a um lado consecutivo mede 360/n. Assim, o arco entre vértices consecutivos tem medida 360/n. O arco que vai de Ak até A2, tomando a parte que não contém A1 (percorrendo Ak, A_{k-1}, ..., A2), consiste em k-2 desses arcos elementares, portanto sua medida é (k-2)·360/n. O ângulo no ponto A1 formado pelos cordões A1Ak e A1A2 é um ângulo inscrito que intercepta exatamente esse arco; pela propriedade do ângulo inscrito, sua medida é metade da medida do arco interceptado. Logo ? = (1/2)·(k-2)·360/n = (k-2)·180/n. Observação: para k = 2 obtém-se ? = 0° (mesmo lado), e para k = n obtém-se o ângulo interno em A1.

Explicação

A solução utiliza a relação entre ângulos inscritos e ângulos centrais, onde o ângulo central correspondente a um lado do polígono é calculado como 360/n. O arco interceptado pelo ângulo inscrito em A1 é determinado pela quantidade de lados entre Ak e A2, resultando na fórmula que expressa a medida do ângulo em função de n e k. Essa abordagem garante que a medida do ângulo ? varia conforme a posição de Ak, refletindo corretamente a geometria do polígono regular.

Raio-X da questão

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