Seja n=3 inteiro, s>0 e a?R. Considere um polígono regular convexo de n lados de comprimento s inscrito em…

Questão

Seja n=3 inteiro, s>0 e a?R. Considere um polígono regular convexo de n lados de comprimento s inscrito em círculo centrado em O=(0,0) com primeiro vértice em ângulo a. Forneça fórmula algébrica para o raio R do circuncírculo e as coordenadas dos vértices em função de n, s e a.

1. A) R = s; ângulo central = 120° (2p/3). Vértices: (s cos(k2p/3), s sin(k2p/3)).
2. B) R = 2s; ângulo central = 30° (p/6). Vértices: (s cos(kp/6), s sin(kp/6)).
3. C) R = s/2; ângulo central = 90° (p/2). Vértices: (s cos(kp/2), s sin(kp/2)).
4. D) R = s/(2 sin(p/n)). Vértices: (x_k,y_k) = (R cos(a+2pk/n), R sin(a+2pk/n)), k=0,...,n-1.
5. E) R = s/3; ângulo central = 45° (p/4). Vértices: (s cos(kp/4), s sin(kp/4)).

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Em um polígono regular de n lados inscrito em uma circunferência de raio R, o ângulo central correspondente a cada lado é 2pi/n radianos (para n=3, são 120 graus). Passo 2: Ligando o centro O aos extremos de um lado, forma-se um triângulo isósceles com dois lados iguais a R e base s. Traçando a altura até o ponto médio da base, obtém-se um triângulo retângulo com cateto oposto s/2, hipotenusa R e ângulo no centro igual a pi/n. Assim, sen(pi/n) = (s/2)/R, o que dá R = s/(2 sen(pi/n)). Passo 3: Para n=3, sen(pi/3) = raiz de 3 / 2, logo R = s/raiz de 3 = raiz de 3 vezes s dividido por 3, aproximadamente 0,577 s. Passo 4: Começando no ângulo a e avançando 2pi/n a cada vértice, as coordenadas são (x_k, y_k) = (R cos(a + 2pi k/n), R sin(a + 2pi k/n)), para k = 0, 1, ..., n-1. Passo 5: A alternativa A está errada porque R = s não corresponde ao raio obtido, embora o ângulo central de 120 graus esteja correto para n=3. A alternativa B está errada porque R = 2s e o ângulo de 30 graus não correspondem a um triângulo equilátero. A alternativa C está errada porque R = s/2 e o ângulo de 90 graus pertencem a outra figura, não ao triângulo. A alternativa E está errada porque R = s/3 e o ângulo de 45 graus não correspondem a nenhum polígono de três lados. Além disso, todas as alternativas erradas fixam valores numéricos e ignoram a dependência de n e do ângulo a, exigidos pelo enunciado.

💡 Dica: Utilize a relação entre lados e raio em polígonos regulares.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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