Considere um polígono regular convexo com n lados, em que n é um número inteiro maior ou igual a 3. Cada lado…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere um polígono regular convexo com n lados, em que n é um número inteiro maior ou igual a 3. Cada lado tem comprimento s, com s > 0, e o polígono está inscrito em uma circunferência de raio R. Qual expressão representa o raio R da circunferência em função de s e n?
- A) R = 2s sen(π/n)
- B) R = s/(2 sen(2π/n))
- C) R = s/(2 sen(π/n))
- D) R = s/sen(π/n)
- E) R = s/(2 tan(π/n))
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Ligue o centro O do polígono aos extremos A e B de um lado. O triângulo OAB é isósceles, com OA = OB = R e ângulo AOB = 360°/n = 2π/n radianos.
- Trace a altura OM relativa à base AB. Ela divide o ângulo central ao meio, formando ângulo AOM = π/n, e divide o lado ao meio, de modo que AM = s/2.
- No triângulo retângulo OMA, o seno de π/n é o cateto oposto sobre a hipotenusa: sen(π/n) = (s/2)/R.
- Isolando R, obtemos R = (s/2)/sen(π/n), ou seja, R = s/(2 sen(π/n)). Essa é a alternativa C, que coincide com o gabarito oficial.
- Conferência com o quadrado (n = 4): sen(45°) = raiz de 2 sobre 2, então R = s/(2 · raiz de 2 sobre 2) = s/raiz de 2 = s·raiz de 2/2, que é a metade da diagonal do quadrado, como esperado.
- Por que as demais estão erradas: a alternativa A multiplica s por 2 sen(π/n), quando o correto é dividir; a alternativa B usa 2π/n no lugar de π/n, confundindo o ângulo central com o metade dele; a alternativa D usa s/sen(π/n), esquecendo que o cateto oposto é a metade do lado; a alternativa E usa tangente, que relaciona o apótema e não o raio.
💡 Dica: Utilize a fórmula do raio do círculo circunscrito para polígonos regulares.
Alternativa por alternativa
O aluno inverteu a relação do triângulo retângulo, escrevendo s = 2R sen(π/n) como se fosse R = 2s sen(π/n), isto é, multiplicando em vez de dividir.
Por que engana: Confundir a relação entre o lado do polígono e o raio do círculo circunscrito, utilizando uma fórmula incorreta como R = s/n.
O aluno usou o ângulo central inteiro, 2π/n, no seno, quando no triângulo retângulo o ângulo relevante é a metade dele, π/n.
Ligando o centro da circunferência às extremidades de um lado, formamos um triângulo isósceles. Ao dividi-lo ao meio, obtemos um triângulo retângulo com hipotenusa R, ângulo π/n e cateto oposto s/2. Assim, sen(π/n) = (s/2)/R, portanto R = s/(2 sen(π/n)).
O aluno tratou o cateto oposto como se fosse o lado inteiro s, esquecendo que a altura divide o lado ao meio e que o fator 2 é necessário.
O aluno confundiu a relação com a tangente, que envolve o apótema (distância do centro ao lado), com a relação com o seno, que envolve o raio.
Raio-X da questão
raio do círculo circunscrito
avaliacao
propriedades de polígonos regulares · funções trigonométricas
Revisar as propriedades de polígonos regulares e suas relações com circunferências.
Confundir a relação entre o lado do polígono e o raio do círculo circunscrito, utilizando uma fórmula incorreta como R = s/n.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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