Em um projeto de mosaico para uma praça brasileira, uma equipe pretende construir polígonos regulares usando…

Questão

Em um projeto de mosaico para uma praça brasileira, uma equipe pretende construir polígonos regulares usando régua e compasso. Para analisar cada figura, os estudantes traçam segmentos do centro até dois vértices consecutivos. Esses segmentos formam um triângulo isósceles, cujo lado do polígono mede s e cujo ângulo central mede 2p/n, em que n é o número inteiro de lados, com n = 3. Considere p como a constante matemática aproximadamente igual a 3,14. Com base nessa construção geométrica, qual expressão relaciona o raio R da circunferência circunscrita ao polígono regular, o comprimento s de seu lado e o número n de lados?

1. A) R = s/sen(π/n)
2. B) R = s/(2 · tan(π/n))
3. C) R = s · sen(π/n)/2
4. D) R = s/(2 · cos(π/n))
5. E) R = s/(2 · sen(π/n))

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Trace o triângulo isósceles formado pelo centro O e pelos vértices consecutivos V1 e V2. Os lados OV1 e OV2 medem R e a base V1V2 mede s. O ângulo no centro vale 2π/n, sendo p a aproximação de π usada no enunciado. Passo 2: Trace a altura de O até o ponto médio M da base V1V2. Ela divide o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes. Em cada um, a hipotenusa é R, o cateto oposto ao ângulo de π/n é s/2 (metade da base) e o ângulo em O vale π/n, pois a altura bissetriz divide o ângulo de 2π/n ao meio. Passo 3: Use a razão do seno: sen(π/n) = cateto oposto / hipotenusa = (s/2)/R. Passo 4: Isole R: R = (s/2)/sen(π/n), ou seja, R = s/(2·sen(π/n)). Passo 5: Verificação com n = 3: sen(π/3) = raiz de 3 dividido por 2, logo R = s/(2·raiz de 3/2) = s/raiz de 3, que é o valor conhecido para o raio do triângulo equilátero. Passo 6: Por que as outras estão erradas: A esquece de dividir o lado s por 2; B usa tangente, que relaciona o apótema e não o raio; C inverte a relação e multiplica por seno em vez de dividir; D usa cosseno, que corresponde ao cateto adjacente e não ao cateto oposto. Conclusão: a alternativa correta é a E, coincidindo com o gabarito oficial.

💡 Dica: Utilize a fórmula do raio do circuncírculo para polígonos regulares.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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