Dado um polígono regular convexo de n=3 lados cujo lado tem comprimento s>0 e que é inscrito em um círculo de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dado um polígono regular convexo de n=3 lados cujo lado tem comprimento s>0 e que é inscrito em um círculo de raio R, obtenha R em função de s e n.
- A) R = n/(2·sin(p/s))
- B) R = s/(sin(2p/n))
- C) R = s/(n·cos(p/n))
- D) R = s/(2·sin(p/n)).
- E) R = 2s·sin(p/n)
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Considere o polígono regular de n lados inscrito num círculo de raio R. Ligando o centro O aos dois vértices de um lado de comprimento s, forma-se um triângulo isósceles com lados R, R e s, cujo ângulo no centro vale 2p/n (p é pi).
- Traçando a altura desse triângulo a partir de O, ela divide o ângulo central ao meio (p/n) e o lado s ao meio (metade é s/2). No triângulo retângulo formado, sen(p/n) = (s/2)/R.
- Isolando R, obtém-se R = (s/2)/sen(p/n), ou seja, R = s/(2·sen(p/n)). Isso corresponde à alternativa D.
- Conferência com n=3 (triângulo equilátero): sen(p/3) = sen(60°) = raiz de 3 sobre 2, então R = s/(2·raiz de 3/2) = s/raiz de 3, que é o valor conhecido para o raio do círculo circunscrito a um triângulo equilátero de lado s.
- Por que as outras estão erradas: A usa p/s como ângulo, o que não faz sentido dimensionalmente; B usa o ângulo central completo 2p/n, o que dá s/(2·sen(p/n)·cos(p/n)), errado por um fator cos(p/n) no denominador; C divide por n, mas o raio não depende da divisão do lado pelo número de lados desse jeito; E multiplica por 2s·sen(p/n) em vez de dividir, invertendo a relação entre lado e raio.
- Portanto, a resposta correta é a alternativa D, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Utilize a fórmula do raio do círculo circunscrito para polígonos regulares.
Alternativa por alternativa
O aluno tratou p/s como se fosse o ângulo central e colocou n no numerador, como se o raio crescesse com o número de lados. Não percebeu que o argumento do seno deve ser um ângulo, que depende de n e não de s.
O aluno usou o ângulo central completo 2p/n no seno, sem notar que a relação s = 2R·sen(p/n) envolve metade desse ângulo. Também não reconheceu que a fórmula precisa do fator 2 no denominador da forma correta.
Por que engana: Confundir a relação entre o lado do polígono e o raio do círculo, utilizando a fórmula errada para calcular R.
O aluno confundiu o raio com o apótema ou com alguma relação envolvendo cosseno e dividiu o lado por n, como se o perímetro fosse distribuído entre os lados. Ignorou que a relação correta é com o seno da metade do ângulo central.
O lado s é uma corda que subtende ângulo central 2p/n; comprimento da corda s = 2R·sin(p/n). Isolando R obtém-se R = s/(2 sin(p/n)).
O aluno inverteu a relação trigonométrica e multiplicou o lado pelo seno, em vez de dividir. Pode ter lembrado a fórmula do lado em função do raio (s = 2R·sen(p/n)) mas esqueceu de isolar R corretamente.
Raio-X da questão
raio de polígono regular
avaliacao
propriedades de polígonos regulares · seno e cosseno
Revisar as propriedades de polígonos regulares e a relação entre lados e raio.
Confundir a relação entre o lado do polígono e o raio do círculo, utilizando a fórmula errada para calcular R.
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cientifico
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