Dado o lado s>0 de um polígono regular de n=3 lados, escreva a expressão do apótema a em função de s e n…

Questão

Dado o lado s>0 de um polígono regular de n=3 lados, escreva a expressão do apótema a em função de s e n, usando trigonometria do triângulo isósceles formado pelo centro e dois vértices consecutivos.

1. A) a = s / (2·cot(p/n))
2. B) a = s / (2·tan(p/n)).
3. C) a = s · tan(p/n)
4. D) a = s · sin(p/n)
5. E) a = s / (2·cos(p/n))

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Considere o centro O do polígono regular e o ponto médio M de um lado de comprimento s. O segmento OM é o apótema a, perpendicular ao lado. Ligando O a um vértice, o ângulo central do triângulo isósceles é 2pi/n, e a metade dele, pi/n, fica no vértice O do triângulo retângulo OMV, onde V é um vértice do lado.
2. No triângulo retângulo OMV, o ângulo em O vale pi/n. O cateto oposto a esse ângulo é MV = s/2 e o cateto adjacente é OM = a.
3. Pela definição de tangente, tan(pi/n) = cateto oposto / cateto adjacente = (s/2) / a.
4. Isolando a, obtemos a = (s/2) / tan(pi/n) = s / (2·tan(pi/n)), que é a alternativa B. Assim, o gabarito oficial está correto e foi confirmado pela resolução independente.
5. Por que as outras estão erradas. A: usa cotangente no lugar de tangente, o que daria a = s·tan(pi/n)/2, uma expressão incorreta. C: esquece a metade do lado e a razão entre os catetos, resultando em um valor que não corresponde ao apótema. D: usa seno, que relaciona o cateto oposto com a hipotenusa, e não o apótema. E: usa cosseno, que relaciona o cateto adjacente com a hipotenusa (o raio R), e não com o apótema.
6. Verificação com n=3 (triângulo equilátero de lado s): a = s / (2·tan(60°)) = s / (2·raiz de 3) = s·raiz de 3 / 6, valor conhecido do apótema do triângulo equilátero.

💡 Dica: Divida o triângulo isósceles ao meio e use a tangente do ângulo central metade.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• Em um polígono regular de n = 12 lados com lado s>0, escreva a expressão do apótema a em função de s.
• Seja n=3 inteiro, s>0 e a?R. Considere um polígono regular convexo de n lados de comprimento s inscrito em círculo…
• Para um quadrado regular de lado s>0, expresse o apótema a em função de s e mostre por equações que a = s/2.
• Demonstre a expressão para o raio R do círculo circunscrito de um polígono regular de n lados (n=3) em função do…
• Dado um polígono regular convexo de n=3 lados cujo lado tem comprimento s>0 e que é inscrito em um círculo de raio R…
• Em um projeto de mosaico para uma praça brasileira, uma equipe pretende construir polígonos regulares usando régua e…

Todas as questões de Áreas e perímetros de figuras poligonais: algumas relações