Em um polígono regular de n = 12 lados com lado s>0, escreva a expressão do apótema a em função de s.
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um polígono regular de n = 12 lados com lado s>0, escreva a expressão do apótema a em função de s.
- A) a = s / (2·tan(p/12)).
- B) a = s / (tan(2p/12)).
- C) a = s / (3·tan(p/12)).
- D) a = 2s·tan(p/12).
- E) a = s / (2·cot(p/12)).
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Em um polígono regular de 12 lados, o ângulo central mede 360/12 = 30 graus, ou seja, pi/6 radianos. O apótema a é o segmento que liga o centro ao ponto médio de um lado e forma um triângulo retângulo com metade do lado s/2. Nesse triângulo, o ângulo no centro é metade do ângulo central, isto é, pi/12 radianos. Passo 2: No triângulo retângulo, o cateto oposto ao ângulo pi/12 é s/2 e o cateto adjacente é a. Logo, tan(pi/12) = (s/2)/a. Passo 3: Isolando a, obtemos a = (s/2)/tan(pi/12), que equivale a a = s/(2·tan(pi/12)). Essa é a alternativa A, que coincide com o gabarito oficial. Passo 4: Alternativa B está errada porque usa 2pi/12 (o ângulo central inteiro) em vez da metade, e também não tem o fator 2 no denominador. Alternativa C está errada porque o fator 3 não surge da geometria do problema. Alternativa D está errada porque multiplica por tan em vez de dividir, invertendo a relação trigonométrica. Alternativa E está errada porque cot(pi/12) é 1/tan(pi/12), então s/(2·cot) resulta em s·tan/2, que é a expressão inversa da correta.
💡 Dica: Utilize a fórmula do apótema para polígonos regulares.
Alternativa por alternativa
No triângulo retângulo formado pelo centro, o ponto médio de um lado e um vértice, tan(p/12) = (s/2)/a, daí a = s/(2·tan(p/12)).
O aluno usa o ângulo central inteiro (2pi/12) em vez de metade dele no triângulo retângulo, e esquece o fator 2 que aparece ao dividir o lado pela metade.
Por que engana: Confundir a relação entre o apótema e a tangente, aplicando a fórmula errada para o cálculo do apótema.
O aluno acrescenta um fator 3 sem justificativa geométrica, possivelmente confundindo o número de lados ou o número de triângulos com a relação entre o lado e o apótema.
O aluno inverte a relação trigonométrica e multiplica por tan(pi/12) em vez de dividir, tratando o apótema como cateto oposto em vez de adjacente.
O aluno confunde cotangente com tangente: como cot(pi/12) = 1/tan(pi/12), a expressão dada equivale a s·tan(pi/12)/2, que é o inverso da relação correta.
Raio-X da questão
apótema de polígono
fixacao
funções trigonométricas · polígonos regulares
Revisar a fórmula do apótema para polígonos regulares.
Confundir a relação entre o apótema e a tangente, aplicando a fórmula errada para o cálculo do apótema.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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