Considere a sequência (x_n) definida por x_1 = 2 e, para todo n = 1, x_{n+1} = v(3 x_n² + 4²). (a) Prove por…

Questão

Considere a sequência (x_n) definida por x_1 = 2 e, para todo n = 1, x_{n+1} = v(3 x_n² + 4²). (a) Prove por indução que x_n² = 12·3^{n-1} - 8 para todo n = 1. (b) Calcule x_4 em forma simplificada.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Defina y_n = x_n². Da recorrência vem y_{n+1} = 3 y_n + 16, com y_1 = 4. Procura-se solução da forma y_n = C·3^{n-1} + y_p; para constante y_p satisfaça y_p = 3 y_p + 16 ? y_p = -8. Então y_n = C·3^{n-1} - 8. Usando y_1 = 4 = C·3^{0} - 8 dá C = 12. Logo y_n = 12·3^{n-1} - 8, o que prova a fórmula por indução (verificação da base e passo indutivo: se y_n = 12·3^{n-1} - 8 então y_{n+1}=3(12·3^{n-1}-8)+16=12·3^n-8). Para (b), x_4 = v(y_4) com y_4 = 12·3^{3} - 8 = 12·27 - 8 = 324 - 8 = 316, logo x_4 = v316 = 2v79.

Explicação

A solução utiliza a técnica de recorrência para encontrar uma expressão geral para y_n, que é equivalente a x_n². A verificação da base e do passo indutivo confirma que a fórmula é válida para todos os n. O cálculo de x_4 é feito a partir da expressão encontrada, simplificando corretamente até chegar ao resultado final.

Raio-X da questão

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