Considere a sequência (h_n) definida por h_1 = 12 e, para n = 1, h_{n+1} = v(h_n² + 9²). (a) Prove por indução…

Questão

Considere a sequência (h_n) definida por h_1 = 12 e, para n = 1, h_{n+1} = v(h_n² + 9²). (a) Prove por indução que h_n² = 12² + 9²(n-1) para todo n?N. (b) Deduza a fórmula explícita para h_n. (c) Calcule h_5. (d) Interprete geometricamente cada termo da sequência como hipotenusa de triângulos retângulos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

(a) Base: n=1 ? h_1²=144, ok. Indução: suponha h_k²=144+81(k-1). Então h_{k+1}²=h_k²+81=[144+81(k-1)]+81=144+81k. Assim vale para k+1; por indução a fórmula é verdadeira. (b) h_n=v(144+81(n-1)) (equivalente a v(81n+63)). (c) h_5²=144+81·4=468 ? h_5=v468=6v13. (d) Interpretação: construir triângulos retângulos em que um cateto mede 9 e o outro é a hipotenusa anterior h_n; então h_{n+1} é a hipotenusa desse novo triângulo.

Explicação

A prova por indução confirma que a relação proposta se mantém verdadeira para todos os valores de n, validando a fórmula. A dedução da fórmula explícita para h_n permite calcular facilmente os termos da sequência, e o cálculo de h_5 demonstra a aplicação prática da fórmula. A interpretação geométrica relaciona a sequência a triângulos retângulos, ilustrando como cada hipotenusa é formada a partir do cateto constante de 9 e a hipotenusa anterior.

Raio-X da questão

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