MatemáticaENEMBNCC EM13MAT308Difícil⏱ longo

Em um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, traça-se a altura CD sobre a hipotenusa AB. Prove que AD =…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT308

Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Em um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, traça-se a altura CD sobre a hipotenusa AB. Prove que AD = AC²/AB, BD = BC²/AB e que CD² = AD·BD.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Considere os triângulos ABC, ACD e CBD. Triângulo ACD é semelhante a ABC (ângulos A comuns e ângulo reto em C) e triângulo CBD é semelhante a ABC (ângulos B comuns). Pela semelhança ACD~ABC tem AC/AB = AD/AC ? AD = AC²/AB. Analogamente, CBD~ABC dá BC/AB = BD/BC ? BD = BC²/AB. Para CD², use semelhança entre ACD e CBD: CD/AD = BD/CD ? CD² = AD·BD. Assim as três relações são obtidas por semelhança de triângulos.

Explicação

A explicação se baseia na semelhança de triângulos, que permite estabelecer relações proporcionais entre os lados. Ao identificar os triângulos semelhantes, é possível derivar as fórmulas para AD, BD e CD² a partir das razões de semelhança. Essa abordagem é fundamental na geometria, pois simplifica a resolução de problemas envolvendo triângulos retângulos.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Criar

Leitura alto

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ interpretativa🧩 desafio

🎯 Conceito central

triângulo retângulo e altura

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

propriedades do triângulo retângulo · teorema de Pitágoras

📚 Reveja

Revisar as propriedades dos triângulos retângulos e relações de semelhança.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir as relações entre os segmentos AD, BD e CD, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras sem considerar a altura do triângulo.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

cientifico

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