Em uma atividade de Física, estudantes de uma escola brasileira utilizaram um pêndulo simples para estimar a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma atividade de Física, estudantes de uma escola brasileira utilizaram um pêndulo simples para estimar a aceleração da gravidade no local. O comprimento medido do fio foi L = (1,000 ± 0,005) m, e o período médio de oscilação, obtido a partir de várias medições, foi T = (2,01 ± 0,02) s. Desprezando a resistência do ar e considerando pequenas oscilações, o modelo teórico é T = 2pv(L/g), ou, de forma equivalente, g = 4p²L/T². Considere as incertezas de L e T independentes e use a propagação de incertezas para obter a incerteza padrão de g. Com base nos dados do experimento, qual é a estimativa da aceleração da gravidade e de sua incerteza padrão, considerando uma incerteza de uma vez o desvio-padrão (1s)?
- A) g = 19,54 ± 0,20 m/s²
- B) g = 9,77 ± 0,05 m/s²
- C) g = 9,77 ± 0,20 m/s²
- D) g = 9,77 ± 0,24 m/s²
- E) g = 2,44 ± 0,05 m/s²
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Isolar g na relação dada: g = 4π²L/T². Passo 2: Calcular o valor central. T² = 2,01² = 4,0401 s². 4π² ≈ 39,478. Logo g = 39,478 × 1,000 / 4,0401 ≈ 9,77 m/s². Passo 3: Calcular a incerteza relativa de L: δL/L = 0,005/1,000 = 0,005 (0,5%). Passo 4: Calcular a incerteza relativa de T: δT/T = 0,02/2,01 ≈ 0,00995 (cerca de 1%). Como g depende de T², o termo de T entra multiplicado por 2: 2 × 0,00995 ≈ 0,0199. Passo 5: Como L e T são independentes, somam-se as variâncias relativas (em quadratura): (δg/g)² = (0,005)² + (0,0199)² = 0,000025 + 0,000396 = 0,000421. Logo δg/g ≈ 0,0205. Passo 6: Incerteza absoluta: δg = 9,77 × 0,0205 ≈ 0,20 m/s². Passo 7: Resultado: g = 9,77 ± 0,20 m/s² (1 desvio-padrão). Esse resultado coincide com o gabarito oficial. Passo 8: Por que as outras estão erradas: A usa o fator 8π² em vez de 4π², dobrando o valor central; B considera apenas a incerteza de L e ignora a de T; D soma linearmente as incertezas relativas em vez de somá-las em quadratura; E usa π² no lugar de 4π², dividindo o valor central por 4.
💡 Dica: Utilize a fórmula de propagação de incertezas para calcular g.
Alternativa por alternativa
O aluno dobrou o fator da fórmula, usando g = 8π²L/T² em vez de 4π²L/T². O valor central fica 19,54, o dobro do correto. A incerteza de 0,20 está coerente, mas o valor central está errado.
O aluno calculou a incerteza considerando apenas o erro relativo de L (0,5%, resultando em cerca de 0,05) e ignorou a contribuição de T, que é a mais importante por estar elevada ao quadrado.
A partir de g = 4π²L/T², obtém-se g = 4π² · 1,000/(2,01)² ≈ 9,77 m/s². Para incertezas independentes, a propagação relativa é σg/g = √[(σL/L)² + (2σT/T)²]. Assim, σg/g = √[(0,005/1,000)² + (2 · 0,02/2,01)²] ≈ 0,0205. Portanto, σg ≈ 9,77 · 0,0205 ≈ 0,20 m/s².
O aluno somou as incertezas relativas diretamente (0,005 + 0,0199 ≈ 0,0249) em vez de combiná-las em quadratura, o que superestima a incerteza final em 0,24.
O aluno usou g = π²L/T², esquecendo o fator 4 da fórmula. Assim, o valor central fica 2,44, um quarto do correto, e a incerteza de 0,05 é consistente com esse valor errado.
Raio-X da questão
propagação de incertezas
avaliacao
propagação de incertezas · cálculo de períodos de pêndulos
Revisar a fórmula do período do pêndulo e a propagação de incertezas.
O aluno pode confundir a fórmula do período do pêndulo e aplicar incorretamente os valores de L e T, resultando em um valor de g impreciso.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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