Em um modelo simplificado para estudar a gravidade de um planeta, considera-se que ele é uma esfera maciça de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um modelo simplificado para estudar a gravidade de um planeta, considera-se que ele é uma esfera maciça de densidade uniforme. Nesse caso, a massa localizada no interior de uma esfera de raio r é proporcional ao seu volume. Assim, para pontos internos, a aceleração gravitacional deve ser determinada considerando apenas a massa encerrada até esse raio, e sua direção é radial. Um planeta esférico uniforme tem massa M = 5,00×10^24 kg e raio R = 6,00×10^6 m. Adotando G = 6,67×10^-11 N·m²/kg², determine a aceleração gravitacional no ponto situado a r = R/2 do centro e indique sua direção. Com base no texto, assinale a alternativa correta.
- A) 4,63 m/s², dirigida para o centro do planeta.
- B) 18,52 m/s², dirigida para o centro do planeta.
- C) 2,32 m/s², dirigida para o centro do planeta.
- D) 4,63 m/s², dirigida para fora do planeta.
- E) 9,26 m/s², dirigida para o centro do planeta.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Resolvi a questão sem usar o gabarito. Como o ponto está a r = R/2 do centro, ele está no interior do planeta, então só a massa contida na esfera de raio r deve ser considerada. Como a densidade é uniforme, essa massa é proporcional ao volume: m(r) = M·(r/R)^3. Passo 2: Pelo teorema de Gauss para gravitação, a aceleração no interior é g(r) = G·m(r)/r^2 = G·M·r/R^3. Passo 3: Na superfície, g(R) = G·M/R^2 = (6,67×10^-11 × 5,00×10^24)/(6,00×10^6)^2 = 3,335×10^14/3,60×10^13 ≈ 9,26 m/s². Passo 4: Logo, g(R/2) = g(R)·(r/R) = 9,26 × 0,5 ≈ 4,63 m/s². Passo 5: A direção é radial e aponta para o centro do planeta, pois a gravidade é sempre atrativa. Passo 6: Comparando com o gabarito oficial, a alternativa A coincide com o resultado obtido, então o gabarito está correto. Passo 7: Por que as outras estão erradas: B dobra o valor correto; C usa a lei do inverso do quadrado, válida só fora do planeta; D tem o módulo certo, mas a direção errada, pois a gravidade aponta para o centro; E usa o valor da superfície, ignorando que o ponto está no interior.
💡 Dica: Aplique a fórmula da gravitação para calcular g(r).
Alternativa por alternativa
Como a densidade é uniforme, a massa interna ao raio r é M(r) = M(r/R)^3. Para r = R/2, a massa interna corresponde a M/8. Portanto, g(r) = GM(r)/r² = G[M(r/R)^3]/r² = GMr/R³. Substituindo r = R/2, obtém-se g(r) = GM/(2R²) = 4,63 m/s². A aceleração aponta para o centro, pois a interação gravitacional é atrativa.
O aluno inverteu a razão entre os raios, multiplicando g(R) por R/r = 2 em vez de r/R. Assim, obteve 2 × 9,26 = 18,52 m/s².
O aluno aplicou a lei do inverso do quadrado (g proporcional a 1/r^2), que vale para pontos externos, a um ponto interno. Calculou 9,26/4 = 2,32 m/s².
Por que engana: Confundir a aceleração gravitacional no interior de um planeta com a aceleração na superfície, aplicando a fórmula errada.
O aluno calculou o módulo corretamente, mas acreditou que a gravidade aponta para fora do planeta, como se fosse uma força que empurra o objeto para longe do centro.
O aluno usou o valor da gravidade na superfície (9,26 m/s²) sem considerar que o ponto pedido está a R/2 do centro, ou seja, no interior do planeta.
Raio-X da questão
aceleração gravitacional
avaliacao
lei da gravitação universal · cálculo de aceleração
Revisar a lei da gravitação universal e suas aplicações.
Confundir a aceleração gravitacional no interior de um planeta com a aceleração na superfície, aplicando a fórmula errada.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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