Em uma indústria de alimentos, uma tubulação cilíndrica transporta vapor e precisa ser isolada para reduzir o…

Questão

Em uma indústria de alimentos, uma tubulação cilíndrica transporta vapor e precisa ser isolada para reduzir o aquecimento do ambiente e o desperdício de energia. O tubo tem raio interno de 0,050 m e comprimento de 3,00 m. A camada isolante apresenta condutividade térmica de 0,035 W·m?¹·K?¹. A temperatura da superfície interna é mantida em 220 °C, enquanto a temperatura do ambiente é 20 °C. Para estimar a transferência de calor radial através do isolamento, a equipe utiliza a relação Q = [2pLk(T? - T?)]/ln(r2/r1), em que r1 e r2 são, respectivamente, os raios interno e externo da camada isolante. Considerando que a perda máxima de calor permitida seja de 200 W, qual deve ser o menor raio externo da camada isolante e qual será sua espessura?

1. A) O raio externo deve ser aproximadamente 0,2276 m, e a espessura do isolamento deve ser aproximadamente 0,1776 m.
2. B) O raio externo deve ser aproximadamente 0,1033 m, e a espessura do isolamento deve ser aproximadamente 0,0533 m.
3. C) O raio externo deve ser aproximadamente 0,0967 m, e a espessura do isolamento deve ser aproximadamente 0,0467 m.
4. D) O raio externo deve ser aproximadamente 0,0830 m, e a espessura do isolamento deve ser aproximadamente 0,0330 m.
5. E) O raio externo deve ser aproximadamente 0,0623 m, e a espessura do isolamento deve ser aproximadamente 0,0123 m.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Identifique os dados. Comprimento L = 3,00 m, condutividade k = 0,035 W/(m·K), diferença de temperatura ΔT = 220 - 20 = 200 K, raio interno r1 = 0,050 m e perda máxima Q = 200 W. A incógnita é o raio externo r2.
2. Isole o logaritmo na fórmula Q = 2 pi L k ΔT / ln(r2/r1). Fica ln(r2/r1) = 2 pi L k ΔT / Q.
3. Calcule o numerador. 2 pi x 3 x 0,035 x 200 = 2 pi x 21 = 131,95 (aproximadamente). Então ln(r2/r1) = 131,95 / 200 = 0,6597.
4. Calcule r2/r1 = e^0,6597 = 1,934 (aproximadamente). Logo r2 = 0,050 x 1,934 = 0,0967 m.
5. A espessura do isolamento é e = r2 - r1 = 0,0967 - 0,050 = 0,0467 m.
6. Verifique o sentido da desigualdade. Como Q é inversamente proporcional a ln(r2/r1), aumentar r2 reduz a perda. Para que Q seja no máximo 200 W, r2 precisa ser pelo menos 0,0967 m, que é o menor raio possível.
7. Compare com o gabarito. Minha resolução confirma a alternativa C, que coincide com o gabarito oficial.
8. Por que as outras estão erradas. A: o raio 0,2276 m implicaria ln(r2/r1) de cerca de 1,52, o que dá perda muito menor que 200 W, portanto não é o menor raio. B: o raio 0,1033 m superestima o logaritmo e não corresponde ao cálculo com a fórmula. D: o raio 0,0830 m fornece ln(r2/r1) de cerca de 0,51, o que produziria perda acima de 200 W. E: o raio 0,0623 m daria ln(r2/r1) de cerca de 0,22, muito abaixo do necessário, e a perda ficaria bem acima do limite.

💡 Dica: Aplique a fórmula de condução radial para encontrar r2.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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