Em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide-a em segmentos (x+1) cm e (2x+3) cm. Sabendo…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide-a em segmentos (x+1) cm e (2x+3) cm. Sabendo que a altura mede 6 cm, determine o valor de x e as medidas dos catetos.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Chame p = x+1 e q = 2x+3. Para altura h vale h² = p·q ? 6² = (x+1)(2x+3) ? 36 = 2x²+5x+3 ? 2x²+5x-33=0. ? = 5²-4·2·(-33)=25+264=289 ? v?=17. Logo x = (-5+17)/(4)=3 (descarta-se a raiz negativa). Então p=4 cm, q=9 cm, hipotenusa c = p+q =13 cm. Catetos: a² = c·p =13·4=52 ? a = 2v13 cm; b² = c·q =13·9=117 ? b = 3v13 cm.
Explicação
A solução utiliza a relação entre a altura de um triângulo retângulo e os segmentos que ela forma na hipotenusa, aplicando a fórmula h² = p·q para encontrar os valores de x, p e q. A partir daí, é possível determinar a hipotenusa e, em seguida, aplicar a relação entre os catetos e a hipotenusa para calcular suas medidas. O uso da fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática é fundamental para encontrar o valor de x e, consequentemente, as medidas dos catetos.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
propriedades do triângulo retângulo · teorema de Pitágoras
Revisar o Teorema de Pitágoras e propriedades de triângulos retângulos.
O aluno pode confundir as relações entre os segmentos da hipotenusa e a altura, levando a um cálculo incorreto dos catetos.
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