Num triângulo retângulo, a altura CH sobre a hipotenusa AB mede 4 cm. A hipotenusa é dividida em AH = 2x e HB…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Medir, comparar e estimar área de figuras planas desenhadas em malha quadriculada, pela contagem dos quadradinhos ou de metades de quadradinho, reconhecendo que duas figuras com formatos diferentes podem ter a mesma medida de área.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Num triângulo retângulo, a altura CH sobre a hipotenusa AB mede 4 cm. A hipotenusa é dividida em AH = 2x e HB = x+6. Determine o valor de x e os comprimentos dos catetos AC e BC.
- A) x = 2; AC = 5 cm; BC = 6 cm.
- B) x = -3+v17 ˜ 1,123; AC ˜ 4,587 cm; BC ˜ 8,171 cm
- C) x = 0; AC = 4 cm; BC = 8 cm.
- D) x = 5; AC = 10 cm; BC = 10 cm.
- E) x = 10; AC = 12 cm; BC = 16 cm.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Use a relação métrica do triângulo retângulo: a altura ao quadrado é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa, ou seja, CH^2 = AH·HB. Passo 2: Substitua os dados: 4^2 = 2x·(x+6), o que dá 16 = 2x^2 + 12x. Passo 3: Divida por 2 e reorganize: x^2 + 6x - 8 = 0. Passo 4: Aplique Bhaskara: x = (-6 ± raiz de 68)/2 = -3 ± raiz de 17. Como AH = 2x é um comprimento, x deve ser positivo, logo x = -3 + raiz de 17 ≈ 1,123. Passo 5: Calcule AC pelo teorema de Pitágoras no triângulo AHC: AC^2 = AH^2 + CH^2 = (2x)^2 + 16. Com 2x ≈ 2,246, AC^2 ≈ 5,045 + 16 = 21,045, então AC ≈ 4,587 cm. Passo 6: Calcule BC no triângulo BHC: BC^2 = (x+6)^2 + 16. Com x+6 ≈ 7,123, BC^2 ≈ 50,739 + 16 = 66,739, então BC ≈ 8,169 cm. Passo 7: Confira com a relação AC^2 + BC^2 = AB^2, onde AB = 3x + 6 ≈ 9,369. Os dois lados batem (21,045 + 66,739 ≈ 87,78). Passo 8: Conclusão: a alternativa B é a correta, e o gabarito está certo. Pequena observação: o valor de BC pela alternativa (8,171) apresenta uma diferença de arredondamento em relação ao cálculo exato (8,169), o que não altera a escolha. Passo 9: Por que as outras estão erradas: na A, x = 2 não satisfaz 2x(x+6) = 16, pois daria 32; na C, x = 0 faz AH = 0, o que é impossível pois o triângulo ficaria degenerado; na D, x = 5 daria AH = 10 e HB = 11, incompatível com AC = BC = 10 e com a relação métrica; na E, x = 10 daria 2x(x+6) = 320, muito diferente de 16.
💡 Dica: Utilize a relação entre a altura e os segmentos da hipotenusa.
Alternativa por alternativa
Escolheu valores inteiros que parecem plausíveis e formam o terno 3-4-5, sem verificar a relação CH^2 = AH·HB. Assumiu que x = 2 satisfaz as condições sem substituir no enunciado.
Por que engana: Confundir as relações entre os lados do triângulo retângulo, levando a um valor incorreto de x.
Pela relação da altura: CH² = AH·HB ? 16 = 2x(x+6) ? x²+6x-8=0 ? x = -3±v17, tomamos x = -3+v17 (>0). Depois AB=AH+HB; AC²=AB·AH e BC²=AB·HB; calcular numericamente produz AC˜4,587 e BC˜8,171.
Aceitou x = 0, ou seja, AH = 0, o que faria o pé da altura coincidir com o vértice A e anularia a hipotenusa dividida. Não percebeu que o segmento AH precisa ter comprimento positivo.
Supôs que o triângulo é isósceles (AC = BC) e tratou a altura como se fosse também mediana, sem usar as medidas AH = 2x e HB = x+6. Com x = 5, os segmentos AH = 10 e HB = 11 não são iguais, o que contradiz a suposição.
Confundiu os segmentos da hipotenusa (AH e HB) com os catetos, usando HB = 16 como se fosse BC. Também não verificou a relação métrica com x = 10, que daria produto muito maior que 16.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
propriedades do triângulo retângulo · teorema de Pitágoras
Revisar as propriedades dos triângulos retângulos e a relação entre altura e hipotenusa.
Confundir as relações entre os lados do triângulo retângulo, levando a um valor incorreto de x.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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