Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 2x+3 cm, um cateto mede x+1 cm e o outro cateto mede 7 cm…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 2x+3 cm, um cateto mede x+1 cm e o outro cateto mede 7 cm. Determine x.
- A) x = 5
- B) x = (-5 + 2v37)/3.
- C) x = 3
- D) x = 2
- E) x = 4
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Pelo teorema de Pitágoras, a hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos: (2x+3)^2 = (x+1)^2 + 7^2. Passo 2: Desenvolva os quadrados. À esquerda, (2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9. À direita, (x+1)^2 + 49 = x^2 + 2x + 1 + 49 = x^2 + 2x + 50. Passo 3: Iguale e reúna os termos em um lado: 4x^2 + 12x + 9 = x^2 + 2x + 50, logo 3x^2 + 10x - 41 = 0. Passo 4: Aplique a fórmula de Bhaskara com a = 3, b = 10 e c = -41. O discriminante é Δ = 100 + 492 = 592 = 16 * 37, então a raiz quadrada de 592 é 4 * raiz quadrada de 37. Assim x = (-10 ± 4 * raiz quadrada de 37) / 6 = (-5 ± 2 * raiz quadrada de 37) / 3. Passo 5: Como x é a medida de um lado, precisa ser positivo. A raiz quadrada de 37 é aproximadamente 6,08, então (-5 - 12,17)/3 é negativo e não serve. A solução válida é x = (-5 + 2 * raiz quadrada de 37) / 3, aproximadamente 2,39 cm. Passo 6: Verificação: a hipotenusa mede cerca de 7,78 cm, um cateto cerca de 3,39 cm e o outro 7 cm. Como 3,39^2 + 49 é cerca de 60,5 e 7,78^2 é cerca de 60,5, a igualdade se confirma. Passo 7: Por que as outras estão erradas: x = 5 não satisfaz a relação (lados 13, 6 e 7 resultam em 85 diferente de 169); x = 3 não serve (lados 9, 4 e 7 resultam em 65 diferente de 81); x = 2 não serve (lados 7, 3 e 7 resultam em 58 diferente de 49); x = 4 não serve (lados 11, 5 e 7 resultam em 74 diferente de 121). Conclusão: o gabarito B está correto.
💡 Dica: Aplique o Teorema de Pitágoras para resolver a equação.
Alternativa por alternativa
Provavelmente supôs que x = 5 satisfaz a relação sem conferir, ou aplicou Pitágoras com expansão incorreta dos termos, ignorando o termo 2x no lado direito.
Aplicando Pitágoras: (2x+3)²=(x+1)²+7² ? 4x²+12x+9 = x²+2x+50 ? 3x²+10x-41=0. Pela fórmula quadrática, x = (-10±4v37)/6 = (-5+2v37)/3 (valor positivo).
Escolheu x = 3 possivelmente por tentativa de valores inteiros sem verificar a igualdade; ao substituir, não confere 4^2 + 7^2 = 65 com 9^2 = 81.
Por que engana: Confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
Igualou 2x + 3 = 7, tratando o cateto de 7 cm como se fosse a hipotenusa, o que contraria o enunciado, em que a hipotenusa é 2x + 3.
Escolheu x = 4 provavelmente por tentativa numérica sem verificação; ao substituir, lados 11, 5 e 7 não satisfazem 11^2 = 5^2 + 7^2.
Raio-X da questão
Teorema de Pitágoras
avaliacao
teorema de pitagoras · equacoes do 1º grau
Revisar o Teorema de Pitágoras e resolução de equações.
Confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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