Seja uma circunferência e um ponto T fora dela. De T partem duas secantes que intersectam a circunferência em…

Questão

Seja uma circunferência e um ponto T fora dela. De T partem duas secantes que intersectam a circunferência em A e B (com ordem T-A-B) e em C e D (com ordem T-C-D). Demonstre que a medida do ângulo formado pelas duas secantes em T é igual a 1/2·(m(arc AD) - m(arc BC)). Apresente a demonstração usando semelhança de triângulos e relações entre ângulos inscritos e arcos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Sejam as secantes T-A-B e T-C-D. Considere os ângulos inscritos ?ABD e ?ACD: m(?ABD)=½·m(arc AD) e m(?ACD)=½·m(arc BC). As retas formam em T um ângulo externo que pode ser visto como diferença desses ângulos inscritos: ?ATD = ?ABD - ?ACD. Portanto m(?ATD)=½·(m(arc AD)-m(arc BC)). A igualdade pode ser obtida formalizando as relações angulares e, se desejar, construindo triângulos auxiliares que evidenciem semelhanças entre ângulos correspondentes.

Explicação

A demonstração utiliza a relação entre ângulos inscritos e arcos, mostrando que os ângulos formados pelas secantes em T são expressões das medidas dos arcos correspondentes. A diferença entre os ângulos inscritos resulta no ângulo externo em T, que é metade da diferença das medidas dos arcos. Assim, a relação encontrada é uma consequência direta das propriedades das secantes e dos ângulos inscritos na circunferência.

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• Duas secantes saem de um ponto externo P e interceptam a circunferência nos pontos A e B (na primeira secante, com A…
• Num círculo de centro O, considere o ponto A na circunferência, a tangente t em A e a corda AB. Prove que o ângulo…
• Prove geometricamente que o ângulo formado por duas secantes que se intersectam exteriormente a um círculo é igual à…
• Num círculo, seja A o ponto de tangência de uma reta t com a circunferência. Seja AB um corda que tem A como uma das…
• Prove que, em um círculo de centro O, a medida do ângulo formado entre uma tangente t no ponto A e a corda AB é igual à…
• (Dissertativa) De um ponto externo T partem duas secantes que interceptam a circunferência nos pontos A e B (pela…

Todas as questões de Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros