Prove geometricamente que o ângulo formado por duas secantes que se intersectam exteriormente a um círculo é…

Questão

Prove geometricamente que o ângulo formado por duas secantes que se intersectam exteriormente a um círculo é igual à metade da diferença das medidas dos arcos interceptados.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Sejam as secantes que passam por P (fora do círculo) e interceptam o círculo nos pontos A,B (na primeira secante, com A mais próximo de P) e C,D (na segunda, com C mais próximo de P). O ângulo externo ?APC intercepta os arcos AC e BD. Considere dois ângulos inscritos ?ABC e ?ADC que subtendem esses arcos; cada um mede metade do arco que intercepta. Observando os triângulos formados pelas cordas e aplicando que um ângulo formado por duas secantes externas é a diferença entre dois ângulos inscritos com vértices sobre a circunferência que subtendem os mesmos arcos, obtém-se ?APC = 1/2(m(arc AD) - m(arc BC)). Em termos algébricos: m(?APC)=1/2(m(arc maior)-m(arc menor)), prova completa usando relações de ângulos inscritos e soma/diferença de arcos.

Explicação

A explicação se baseia na relação entre ângulos inscritos e arcos em um círculo, onde um ângulo externo formado por secantes é igual à diferença entre os ângulos inscritos que subtendem os arcos interceptados. Ao considerar que cada ângulo inscrito mede metade do arco correspondente, a relação entre o ângulo externo e a diferença dos arcos é estabelecida. Essa abordagem geométrica evidencia como os conceitos de ângulos e arcos se interconectam, permitindo a dedução do resultado desejado.

Raio-X da questão

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