Prove que, em um círculo de centro O, a medida do ângulo formado entre uma tangente t no ponto A e a corda AB…

Questão

Prove que, em um círculo de centro O, a medida do ângulo formado entre uma tangente t no ponto A e a corda AB é igual à medida do ângulo inscrito que intercepta o arco oposto AB (isto é, ?(t,AB) = ?ACB, com C qualquer ponto da circunferência distinto de A e B). Apresente demonstração geométrica completa.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Demonstração modelo: Seja o círculo de centro O e t a tangente no ponto A. Considere a corda AB e um ponto C na circunferência distinto de A e B. Denote ? = ?ACB (ângulo inscrito que intercepta o arco AB). Pelo teorema do ângulo inscrito, o ângulo central que subtende o mesmo arco AB satisfaz ?AOB = 2?. A reta OA é perpendicular à tangente t em A (raio é perpendicular à tangente no ponto de tangência). Considere o triângulo AOB: a meia-queda do arco AB vista a partir de A define o ângulo entre OA e a corda AB; o ângulo entre a tangente t e a corda AB é complemento do ângulo entre OA e a corda AB. Formalizando, note que no triângulo AOB os ângulos na base relacionados à corda AB somam 180° com o ângulo central; assim, o ângulo entre OA e AB mede (1/2)·?AOB = ?. Como OA ? t, o ângulo entre t e AB tem a mesma medida ?. Portanto ?(t,AB)=?=?ACB, que era o que se queria provar. Observação: a prova pode ser apresentada também traçando o raio ao ponto médio do arco AB e usando relações de isometria dos triângulos formados; ambas conduzem à igualdade entre o ângulo tangente–corda e o ângulo inscrito que subtende o arco oposto.

Explicação

A demonstração utiliza propriedades fundamentais dos ângulos em círculos, como a relação entre ângulos inscritos e ângulos centrais, além da perpendicularidade do raio à tangente no ponto de tangência. A análise dos ângulos formados no triângulo AOB permite estabelecer a igualdade entre o ângulo formado pela tangente e a corda com o ângulo inscrito que intercepta o arco oposto. Assim, a lógica e as relações geométricas apresentadas levam à conclusão desejada de forma clara e rigorosa.

Raio-X da questão

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