(Dissertativa) De um ponto externo T partem duas secantes que interceptam a circunferência nos pontos A e B…

Questão

(Dissertativa) De um ponto externo T partem duas secantes que interceptam a circunferência nos pontos A e B (pela primeira secante) e C e D (pela segunda secante), com TA=6, TB=9 e TC=4. Determine TD e apresente a justificativa usando semelhança entre triângulos formados.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Pelo teorema da secante externa: o produto do segmento externo pela secante total é igual para as duas secantes: TA·TB = TC·TD. Substituindo: 6·9 = 4·TD ? 54 = 4·TD ? TD = 54/4 = 13,5. Justificativa geométrica: traçando os triângulos TBA e TDC observa-se que ?T é comum e os ângulos subtendidos pelos mesmos arcos são congruentes, portanto os triângulos são semelhantes, o que leva à igualdade das razões e, multiplicando em cruz, ao produto TA·TB = TC·TD, do qual se obtém TD = 13,5.

Explicação

O teorema da secante externa estabelece que o produto do segmento externo pela secante total é constante para secantes que partem de um mesmo ponto externo. A semelhança dos triângulos formados permite aplicar essa relação, resultando na equivalência dos produtos dos segmentos. Assim, é possível calcular o valor de TD utilizando a proporção derivada da semelhança dos triângulos.

Raio-X da questão

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