Num círculo de centro O, considere o ponto A na circunferência, a tangente t em A e a corda AB. Prove que o…

Questão

Num círculo de centro O, considere o ponto A na circunferência, a tangente t em A e a corda AB. Prove que o ângulo formado entre a tangente t e a corda AB é igual à metade da medida do ângulo central ?AOB que subtende o mesmo arco AB. Apresente demonstração geométrica completa.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Seja ? o ângulo entre a tangente em A e a corda AB. OA é raio e é perpendicular à tangente, logo ?OAB = 90°-?. No triângulo isósceles OAB (OA=OB) tem-se ?OAB=?OBA=90°-?. O ângulo central ?AOB = 180°-2(90°-?)=2?. Portanto ? = (1/2)?AOB, como queríamos demonstrar.

Explicação

A demonstração utiliza propriedades dos ângulos formados por tangentes e cordas em um círculo, além das relações em triângulos isósceles. A relação entre os ângulos é estabelecida ao considerar a soma dos ângulos internos do triângulo OAB e a perpendicularidade do raio à tangente. Assim, a conclusão de que o ângulo entre a tangente e a corda é metade do ângulo central é validada geometricamente.

Raio-X da questão

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