Duas secantes saem de um ponto externo P e interceptam a circunferência nos pontos A e B (na primeira secante…

Questão

Duas secantes saem de um ponto externo P e interceptam a circunferência nos pontos A e B (na primeira secante, com A mais próximo de P) e C e D (na segunda secante, com C mais próximo de P). Prove que a medida do ângulo formado pelas secantes em P é igual a metade da diferença das medidas dos arcos AD e BC, ou seja, ?APC = 1/2(|arc AD - arc BC|).

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Sejam as secantes com interseções P-A-B e P-C-D, e considere o ângulo exterior ? = ?APC. Considere as ângulos inscritos que interceptam os arcos relevantes: o ângulo inscrito que subtende o arco AD pode ser tomado, por exemplo, como ?ABD, e o que subtende o arco BC como ?ACD. Observe que, por configuração, ? pode ser escrito como diferença entre esses dois ângulos inscritos: ? = ?ABD - ?ACD (cada um visto a partir de pontos adequados da circunferência, correspondendo aos mesmos feixes de retas que formam ?). Pelas propriedades da circunferência, cada ângulo inscrito mede metade do arco que subtende: ?ABD = 1/2 · m(arc AD) e ?ACD = 1/2 · m(arc BC). Substituindo na expressão para ? obtemos ? = 1/2·m(arc AD) - 1/2·m(arc BC) = 1/2·(m(arc AD) - m(arc BC)). Tomando valor absoluto, temos a fórmula geral ? = 1/2·|arc AD - arc BC|. Assim, o ângulo formado pelas secantes a partir do ponto externo é metade da diferença das medidas dos arcos interceptados.

Explicação

A explicação se baseia nas propriedades dos ângulos inscritos e nas relações entre os arcos de uma circunferência. Ao considerar os ângulos formados pelas secantes e os ângulos inscritos que subtendem os arcos, é possível estabelecer a relação entre o ângulo externo e a diferença dos arcos. A utilização do valor absoluto garante que a fórmula se mantenha válida independentemente da ordem dos arcos.

Raio-X da questão

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