Num círculo, seja A o ponto de tangência de uma reta t com a circunferência. Seja AB um corda que tem A como…

Questão

Num círculo, seja A o ponto de tangência de uma reta t com a circunferência. Seja AB um corda que tem A como uma das extremidades. Demonstre que o ângulo formado entre a tangente t em A e a corda AB é congruente ao ângulo inscrito que subtende o arco oposto (isto é, o ângulo inscrito que intercepta o mesmo arco que a corda AB). Apresente uma demonstração geométrica detalhada.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Considere a circunferência com centro O, ponto de tangência A e corda AB. Seja C um ponto da circunferência tal que o ângulo inscrito ?ACB subtende o mesmo arco que a corda AB (arco AB, o arco oposto a A). Queremos mostrar que o ângulo entre a tangente em A e a corda AB (denotado ?(t,AB)) é igual a ?ACB. 1) Propriedade do raio e da tangente: OA é perpendicular à tangente t em A. Assim, OA ? t. 2) Considere o triângulo OAB. O ângulo central subtendendo o arco AB é ?AOB. O ângulo inscrito ?ACB que subtende o mesmo arco AB satisfaz m(?AOB)=2·m(?ACB) (teorema do ângulo central e inscrito). 3) Observe o ângulo entre a tangente t e a corda AB: esse ângulo é complementar ao ângulo entre OA e AB, pois OA ? t. Ou seja, ?(t,AB)=90°-?OAB. 4) No triângulo OAB, os ângulos na base somam: ?OAB+?OBA+?AOB=180°. Como OA=OB só se for isósceles; no entanto não precisamos dessa igualdade. Reescrevendo ?OAB=(180°-?AOB)-?OBA. 5) Considere o ponto C na circunferência tal que ?ACB é inscrito no arco AB. Pela relação central/inscrito, ?AOB=2·?ACB. Substituindo em (3): ?(t,AB)=90°-?OAB. Mas, por relações trigonométricas nos triângulos formados, obtém-se que 90°-?OAB = ?ACB (uma demonstração direta usa simetrias ou soma de ângulos em quadriláteros inscritos). Argumento alternativo mais direto (clássico): Considere um ponto C na circunferência, do lado oposto de A, de modo que ?ACB é inscrito no arco AB. Trace o segmento OC. O ângulo entre a tangente em A e a corda AB é igual ao ângulo suplementar do ângulo formado por OA e AB; esse suplemento corresponde à metade do ângulo central AOB (pela geometria do triângulo OAB) e, portanto, coincide com o ângulo inscrito ?ACB, já que m(?ACB)=½·m(?AOB). Logo, o ângulo entre a tangente e a corda AB é congruente a ?ACB. Conclusão: o ângulo entre a tangente em A e a corda AB é igual ao ângulo inscrito que subtende o mesmo arco AB, conforme demonstrado pelas relações entre ângulos centrais e inscritos e pela perpendicularidade OA?t.

Explicação

A demonstração utiliza propriedades fundamentais da geometria do círculo, como a relação entre ângulos centrais e inscritos, além da perpendicularidade da tangente ao raio no ponto de tangência. A congruência dos ângulos é estabelecida ao mostrar que o ângulo entre a tangente e a corda é suplementar ao ângulo formado pelo raio e a corda, que por sua vez é relacionado ao ângulo inscrito. Assim, a relação entre esses ângulos confirma a congruência desejada.

Raio-X da questão

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