Matemática9º anoBNCC EF09MA11Média⏱ medio

No círculo de centro O, os pontos A,B,C são concêntricos com A e B determinando o mesmo arco interceptado. Se…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EF09MA11

Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

No círculo de centro O, os pontos A,B,C são concêntricos com A e B determinando o mesmo arco interceptado. Se ?AOB = 3x - 30° (ângulo central) e ?ACB = x + 10° (ângulo inscrito que intercepta o mesmo arco AB), determine x e as medidas de ?AOB e ?ACB.

A) x = 10; ?AOB = 0°; ?ACB = 20°
B) x = 40; ?AOB = 100°; ?ACB = 80°
C) x = 60; ?AOB = 150°; ?ACB = 90°
D) x = 50; ?AOB = 120°; ?ACB = 60°
E) x = 70; ?AOB = 210°; ?ACB = 140°

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

Resolvi a questão sem usar o gabarito. A questão usa 'concêntricos' de forma imprecisa: A, B e C deveriam ser pontos sobre a circunferência, não concêntricos. Mesmo assim, o enunciado dá a informação necessária: o ângulo AOB é central e o ângulo ACB é inscrito, ambos interceptando o mesmo arco AB.
Pelo teorema do ângulo central, a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito que intercepta o mesmo arco. Logo, AOB = 2 × ACB.
Substituindo as expressões dadas: 3x - 30 = 2(x + 10).
Desenvolvendo: 3x - 30 = 2x + 20, então 3x - 2x = 20 + 30, ou seja, x = 50.
Calculando as medidas: AOB = 3(50) - 30 = 120° e ACB = 50 + 10 = 60°. Confirmação: 120 = 2 × 60.
A alternativa D apresenta exatamente x = 50, AOB = 120° e ACB = 60°, então ela está correta e coincide com o gabarito oficial.
Por que as outras estão erradas: A tem AOB = 0°, o que não corresponde a um arco real; B tem 100° e 80°, que não satisfazem 100 = 2 × 80; C tem 150° e 90°, e um inscrito de 90° exigiria central de 180°; E tem 210° e 140°, com central maior que 180° e inscrito que não é metade do central.

💡 Dica: Use que o ângulo central mede o dobro do ângulo inscrito que intercepta o mesmo arco.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimental

O aluno provavelmente tratou 3x - 30 como se fosse igual a zero ou igualou os ângulos de forma incorreta, chegando a x = 10 sem verificar se o ângulo central resultante é positivo e compatível com o ângulo inscrito.

B Erradaerro: Procedimental

O aluno provavelmente aplicou a relação entre central e inscrito de forma inconsistente, sem verificar que o central deve ser o dobro do inscrito; os valores 100° e 80° não satisfazem essa proporção.

C Erradaerro: Conceituala que mais engana

O aluno provavelmente acredita que o ângulo inscrito vale 90° por interceptar um arco grande, confundindo a relação de metade do central; com central de 150°, o inscrito deveria ser 75°, não 90°.

Por que engana: O aluno pode inverter a relação entre os ângulos central e inscrito, igualando suas medidas ou considerando que o ângulo inscrito é o dobro do central.

D Correta

O ângulo central que intercepta um arco é o dobro do ângulo inscrito que intercepta o mesmo arco: 3x-30 = 2(x+10). Resolvida a equação obtém-se x=50; substituindo dá 120° e 60°.

E Erradaerro: Conceitual

O aluno provavelmente tomou o ângulo inscrito como o dobro de x (2x = 140) e ignorou que o ângulo central de um arco menor não ultrapassa 180°; além disso, o valor 210° é reflexo e não corresponde ao ângulo central do arco AB.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade dupla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

Ângulo central e inscrito

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

Equações do primeiro grau · Ângulos em circunferências

📚 Reveja

Revise a relação entre ângulo central e ângulo inscrito que interceptam o mesmo arco.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode inverter a relação entre os ângulos central e inscrito, igualando suas medidas ou considerando que o ângulo inscrito é o dobro do central.

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

abstrato

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