No plano cartesiano, considere os pontos A(2,1), B(8,1), C(2,5) e D(8,5). Esses quatro pontos pertencem à…

Questão

No plano cartesiano, considere os pontos A(2,1), B(8,1), C(2,5) e D(8,5). Esses quatro pontos pertencem à mesma circunferência G. Além disso, considere as retas r: y = 1 e s: y = 5 (r ? s) e a transversal t: x = 5. a) Determine as coordenadas do centro O e o raio R da circunferência G. b) Calcule a medida em graus do ângulo central ?AOB e do ângulo inscrito ?ACB que subtendem o mesmo arco AB. c) Verifique, por cálculo, a relação entre as medidas dos ângulos central e inscrito correspondentes ao arco AB.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Observando simetria, o centro O tem coordenadas médias dos extremos: O = ((2+8)/2,(1+5)/2) = (5,3). O raio R = |OA| = v[(2-5)²+(1-3)²] = v(9+4) = v13. b) Vetores OA = A-O = (-3,-2) e OB = B-O = (3,-2). Produto escalar OA·OB = (-3)(3)+(-2)(-2) = -9+4 = -5. Como |OA|=|OB|=v13, temos cos?AOB = (-5)/(13). Logo ?AOB = arccos(-5/13) ˜ 112.62°. Para o ângulo inscrito em C: CA = A-C = (0,-4), CB = B-C = (6,-4). Produto escalar CA·CB = 0·6+(-4)(-4)=16. Módulos |CA|=4 e |CB|=v(36+16)=2v13, então cos?ACB = 16/(4·2v13) = 2/v13. Assim ?ACB = arccos(2/v13) ˜ 56.31°. c) Notamos que ?AOB ˜ 112.62° e ?ACB ˜ 56.31°, portanto ?ACB = (1/2)·?AOB, confirmando por cálculo que o ângulo inscrito que subtende o arco AB mede metade do ângulo central que subtende o mesmo arco. Observação: as retas r e s são paralelas e a transversal t passa por O, fazendo com que t intercepte os cordas AB e CD em seus pontos médios, coerente com a posição do centro O.

Explicação

O centro da circunferência é encontrado pela média das coordenadas dos pontos extremos, que são simétricos em relação a ele. O cálculo do ângulo central e do ângulo inscrito utiliza a relação entre os vetores que representam os segmentos de reta, confirmando que o ângulo inscrito é sempre metade do ângulo central correspondente ao mesmo arco. A observação sobre as retas paralelas e a transversal reforça a simetria e a posição do centro em relação aos pontos dados.

Raio-X da questão

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