No plano cartesiano, sejam A(1,3) e B(7,11). Seja O o ponto médio de AB e C(7,3). a) Determine o centro O e o…

Questão

No plano cartesiano, sejam A(1,3) e B(7,11). Seja O o ponto médio de AB e C(7,3). a) Determine o centro O e o raio da circunferência que passa por A, B e C. b) Calcule a medida do ângulo central ?AOB.

1. A) O(3,7), r = 5, ?AOB = 180°
2. B) O(4,7), r = 10, ?AOB = 180°
3. C) O(4,7), r = 5, ?AOB = 180°
4. D) O(4,3), r = 5, ?AOB = 180°
5. E) O(4,7), r = 5, ?AOB = 90°

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Encontrar o ponto medio O de AB. O = ((1+7)/2, (3+11)/2) = (4, 7).
2. Calcular o raio como a distancia de O ate A. OA = raiz de ((4-1)^2 + (7-3)^2) = raiz de (9 + 16) = raiz de 25 = 5.
3. Verificar se C pertence a mesma circunferencia. OC = raiz de ((7-4)^2 + (3-7)^2) = raiz de (9 + 16) = 5. Como OA = OB = OC = 5, a circunferencia que passa por A, B e C tem centro O(4,7) e raio 5. Confirmacao: OB = raiz de ((7-4)^2 + (11-7)^2) = 5.
4. Calcular o angulo central AOB. Como O e o ponto medio de AB, os pontos A, O e B estao alinhados e O esta entre A e B. Logo AOB e um angulo raso, medindo 180 graus. Alternativa: AB = raiz de (36 + 64) = 10 e AB e diametro, com raio 5.
5. Conclusao. A alternativa correta e a C: O(4,7), r = 5, angulo AOB = 180 graus. Gabarito oficial confirmado.
6. Por que as outras estao erradas: A troca as coordenadas do centro (3,7 em vez de 4,7); B usa 10, que e o comprimento de AB (diametro), como raio; D calcula mal a ordenada do centro (3 em vez de 7); E confunde o angulo central com angulo inscrito de 90 graus, que aparece quando o diametro e visto de um ponto da circunferencia.

💡 Dica: Calcule o ponto médio e use a fórmula da circunferência.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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