No plano cartesiano, os pontos A(1,1), B(5,1) e C(3,4) pertencem à mesma circunferência. a) Determine as…

Questão

No plano cartesiano, os pontos A(1,1), B(5,1) e C(3,4) pertencem à mesma circunferência. a) Determine as equações das mediatrizes de AB e AC e calcule o centro O e o raio da circunferência. b) Calcule, em graus, a medida do ângulo central ?AOC e do ângulo inscrito ?ABC.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) AB tem extremos A(1,1), B(5,1). Meio M_AB = ((1+5)/2, (1+1)/2) = (3,1). AB é horizontal (y=1), logo a mediatriz é vertical x=3. AC tem A(1,1), C(3,4). Meio M_AC = ((1+3)/2,(1+4)/2)=(2,2.5). Declive AC = (4-1)/(3-1)=3/2, então declive da mediatriz = -2/3. Equação da mediatriz de AC: y-2.5 = -2/3(x-2). Interseção com x=3: y-2.5 = -2/3 ? y = 2.5-2/3 = 11/6. Portanto O = (3,11/6). Raio r = distância OA = sqrt[(3-1)^2+(11/6-1)^2] = sqrt[4+(5/6)^2] = sqrt[169/36] = 13/6. b) Vetores OA = A-O = (1-3,1-11/6)=(-2,-5/6) e OC = C-O = (0,13/6). Produto escalar OA·OC = (-2)*0 + (-5/6)*(13/6) = -65/36. Como |OA|=|OC|=r=13/6, cos(?AOC) = (OA·OC)/(r^2) = (-65/36)/(169/36) = -65/169. Logo ?AOC = arccos(-65/169) ˜ 112.7°. O ângulo inscrito que subtende o mesmo arco AC é metade do ângulo central: ?ABC = (1/2)·?AOC ˜ 56.35°.

Explicação

A solução apresenta o cálculo das mediatrizes de segmentos, que são essenciais para encontrar o centro da circunferência, utilizando a interseção das mediatrizes. O cálculo do ângulo central e do ângulo inscrito está fundamentado na relação entre os vetores que representam os pontos A e C em relação ao centro O, aplicando a definição de produto escalar e a propriedade dos ângulos inscritos. A utilização de fórmulas geométricas e trigonométricas garante a precisão dos resultados obtidos.

Raio-X da questão

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