No plano cartesiano, considere a circunferência C de centro O(2,1) e raio 5, dada por (x-2)^2+(y-1)^2=25…

Questão

No plano cartesiano, considere a circunferência C de centro O(2,1) e raio 5, dada por (x-2)^2+(y-1)^2=25. Sejam r: y=4 e s: y=-2 (r ? s). Seja t a reta que passa por A(7,8) e B(-3,-4). A reta t intersecta r em R, s em S e a circunferência C nos pontos P e Q (P é o ponto mais próximo de A). a) Determine as coordenadas de P e Q. b) Calcule a medida do ângulo central ?POQ (em graus) e a medida do ângulo inscrito ?PTQ que subtende o arco PQ (onde T é qualquer ponto da circunferência, distinto de P e Q, que determina o ângulo inscrito que intercepta o mesmo arco PQ). c) Calcule as distâncias PR e QS ao longo da reta t. Apresente todos os passos e cálculos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Equação da reta t: por A(7,8) e B(-3,-4), coeficiente angular m = (8-(-4))/(7-(-3)) = 6/5. Logo t: y = (6/5)x - 2/5. Interseções com r e s: R: y=4 ? 4 = (6/5)x - 2/5 ? x = 11/3 ? R(11/3,4). S: y=-2 ? -2 = (6/5)x - 2/5 ? x = -4/3 ? S(-4/3,-2). 2) Interseção de t com C: substituir y na equação da circunferência. (x-2)^2 + ((6/5 x - 2/5)-1)^2 =25 ? (x-2)^2 + (6/5 x -7/5)^2 =25. Multiplicando por 25 e simplificando obtém-se a equação quadrática 61x^2 -184x -476 = 0. O discriminante é ? = 150000 = (100^2)·15, portanto as soluções são x = (92 ± 50v15)/61. Os correspondentes y são y = (6/5)x - 2/5. Assim P: x_P = (92 + 50v15)/61, y_P = (6/5)x_P - 2/5; Q: x_Q = (92 - 50v15)/61, y_Q = (6/5)x_Q - 2/5. Numericamente: P ˜ (4.684413, 5.221296) e Q ˜ (-1.666393, -2.399680). 3) Comprimento do corda PQ: ?x = x_P - x_Q = 100v15/61, ?y = y_P - y_Q = 120v15/61. Logo |PQ| = v[(?x)^2+(?y)^2] = 20v915/61 ˜ 9.9277. Para o ângulo central ? = ?POQ, a relação entre corda e ângulo central é |PQ| = 2·r·sin(?/2) com r=5. Assim sin(?/2) = |PQ|/(2r) = (20v915/61)/10 = (2v915)/61. Portanto ? = 2·arcsin((2v915)/61) ˜ 165.77°. O ângulo inscrito que subtende o mesmo arco (qualquer ?PTQ com T na circunferência interceptando o arco PQ) tem medida metade do ângulo central: ?_inscrito = ?/2 ˜ 82.885°. 4) Distâncias PR e QS ao longo de t (distância euclidiana entre os pontos na reta): R(11/3,4), S(-4/3,-2). Usando as coordenadas numéricas de P e Q: PR = dist(P,R) ˜ v[(4.684413 - 11/3)^2 + (5.221296 - 4)^2] ˜ 1.590 (unidades); QS = dist(Q,S) ˜ v[(-1.666393 + 4/3)^2 + (-2.399680 + 2)^2] ˜ 0.520 (unidades). Resumo dos resultados principais (valores exatos e aproximações): P = ((92+50v15)/61, (6/5)((92+50v15)/61) - 2/5), Q = ((92-50v15)/61, (6/5)((92-50v15)/61) - 2/5); ?POQ = 2·arcsin((2v915)/61) ˜ 165.77°; ?PTQ ˜ 82.885°; PR ˜ 1.590; QS ˜ 0.520.

Explicação

A solução apresentada segue uma metodologia clara, começando pela determinação da equação da reta que passa pelos pontos A e B, e em seguida, calcula as interseções com as retas r e s. A interseção da reta t com a circunferência é resolvida através da substituição na equação da circunferência, resultando em uma equação quadrática que permite encontrar os pontos P e Q. Por fim, as distâncias PR e QS são calculadas utilizando a fórmula da distância entre dois pontos, garantindo a precisão dos resultados.

Raio-X da questão

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