No plano, sejam A(1,1) e B(7,3). Seja O o ponto médio de AB e G a circunferência de centro O que passa por A…

Questão

No plano, sejam A(1,1) e B(7,3). Seja O o ponto médio de AB e G a circunferência de centro O que passa por A. Seja a reta l paralela a AB que passa por C(1,3) e que intersecta G nos pontos P e Q. Resolva: a) determine O e o raio r; b) encontre as coordenadas de P e Q; c) calcule a medida do ângulo central ?POQ e do ângulo inscrito ?PCQ; d) compute a distância PQ (exata).

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) O = midpoint de A(1,1) e B(7,3): O((1+7)/2,(1+3)/2)=(4,2). r = OA = v[(4-1)²+(2-1)²]=v(9+1)=v10. b) Equação de AB: slope m = (3-1)/(7-1)=1/3. Linha l paralela: y=(1/3)x+b. Como l passa por C(1,3), b=3-1/3=8/3, logo l: y=(1/3)x+8/3. Interseção com G: (x-4)²+(y-2)²=10, substituindo y-2=(1/3)x+2/3 obtemos 9(x-4)²+(x+2)²=90 ? 10x²-68x+58=0 ? 5x²-34x+29=0. ?=34²-4·5·29=576?v?=24. Raízes: x=(34±24)/10 ? x1=1, x2=29/5. Para x1=1, y= (1/3)+8/3=3 ? P(1,3). Para x2=29/5, y=(29/15)+(40/15)=69/15=23/5 ? Q(29/5,23/5). c) Vetores OP = P-O = (-3,1) e OQ = (9/5,13/5). Produto escalar OP·OQ = (-3)(9/5)+1(13/5)=(-27+13)/5=-14/5. Como |OP|=|OQ|=r=v10, cos?POQ = (OP·OQ)/(r²)=(-14/5)/10 = -7/25. Assim ?POQ = arccos(-7/25) ˜ 106.26°. O ângulo inscrito ?PCQ subtende o mesmo arco PQ e mede metade: ˜53.13°. d) Distância PQ = v[(29/5-1)²+(23/5-3)²] = v[(24/5)²+(8/5)²] = (1/5)v(576+64) = (1/5)v640 = (8/5)v10. Também pode ser obtida por 2r·sin(?POQ/2) dando o mesmo valor.

Explicação

A solução apresentada segue uma abordagem sistemática, utilizando fórmulas geométricas e álgebra para determinar os pontos e ângulos solicitados. Os cálculos são realizados de forma clara, garantindo que cada passo seja justificado e que as interseções e distâncias sejam corretamente encontradas. Além disso, a relação entre os ângulos central e inscrito é aplicada corretamente, demonstrando a conexão entre os conceitos envolvidos.

Raio-X da questão

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