No plano cartesiano, considere o círculo de centro O(1,2) e raio 5: (x-1)²+(y-2)²=25. A reta r: y=2x+1…

Questão

No plano cartesiano, considere o círculo de centro O(1,2) e raio 5: (x-1)²+(y-2)²=25. A reta r: y=2x+1 intersecta o círculo nos pontos A e B. A reta s, paralela a r, é tangente ao círculo. Determine: (a) as coordenadas de A e B; (b) a medida do ângulo central ?AOB (em graus); (c) a medida do ângulo inscrito subtendido pelo arco AB em qualquer ponto C da circunferência; (d) calcule a distância AB e descreva a relação entre arcos e ângulos que utiliza.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Substituindo y=2x+1 em (x-1)²+(y-2)²=25 obtém-se 5x²-6x-23=0, logo x = (3 ± 2v31)/5. Assim A((3+2v31)/5, 2(3+2v31)/5+1) e B((3-2v31)/5, 2(3-2v31)/5+1). ?x = 4v31/5, logo AB = v[ (?x)² + (2?x)² ] = v5·|?x| = (4/5)v155. Pelo comprimento da corda: AB = 2R·sin(?/2) com R=5, então sin(?/2)=(2v155)/25, ? ˜ 168.48°. O ângulo inscrito que subtende o mesmo arco é ?/2 ˜ 84.24°. Relação usada: o ângulo inscrito é metade do ângulo central que subtende o mesmo arco; a reta tangente paralela a r tem equação y=2x+k com |k|=5v5 (distância de O à reta = raio), o que confirma a existência de uma tangente paralela à r.

Explicação

A solução envolve a substituição da equação da reta na equação do círculo, resultando em uma equação quadrática que permite encontrar as coordenadas dos pontos de interseção. O cálculo do ângulo central e do ângulo inscrito utiliza a relação de que o ângulo inscrito é metade do ângulo central, e a distância entre os pontos A e B é obtida pela fórmula da corda, confirmando a relação entre arcos e ângulos. A verificação da tangente paralela à reta r garante que a reta tangente existe e está corretamente posicionada em relação ao círculo.

Raio-X da questão

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