No plano, sejam as retas r: y = x + 2 e s: y = x - 2 (r ? s) cortadas pela transversal t: x = 3. Seja A = r n…

Questão

No plano, sejam as retas r: y = x + 2 e s: y = x - 2 (r ? s) cortadas pela transversal t: x = 3. Seja A = r n t e B = s n t. Considere a circunferência C de centro O, que é o ponto médio de AB, e que passa por A e B. a) Determine as coordenadas de A e B, a distância AB, as coordenadas de O e o raio de C. b) Prove que AB é diâmetro de C e calcule a medida do ângulo central ?AOB e de qualquer ângulo inscrito ?ADB que subtenda o arco AB.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Interseções com t: para x = 3, em r: y = 3 + 2 = 5 ? A(3,5). Em s: y = 3 - 2 = 1 ? B(3,1). Distância AB = v[(3-3)²+(5-1)²] = v(0+16) = 4. Ponto médio O = ((3+3)/2,(5+1)/2) = (3,3). Raio r = OA = v[(3-3)²+(5-3)²] = 2. b) Como O é o ponto médio de AB, O pertence ao segmento AB e OA = OB = 2, portanto AB passa pelo centro ? AB é diâmetro de C. Vetores OA e OB são colineares e de sentidos opostos, logo o ângulo central ?AOB mede 180°. Pelo teorema que relaciona ângulo inscrito e ângulo central subtendendo o mesmo arco, qualquer ângulo inscrito ?ADB que subtende o arco AB mede metade do ângulo central: ?ADB = 180°/2 = 90°. (Conclusão: AB é diâmetro; ?AOB = 180°; qualquer ?ADB subtendendo AB = 90°.)

Explicação

As coordenadas dos pontos A e B são obtidas ao substituir x = 3 nas equações das retas, resultando em A(3,5) e B(3,1). O ponto médio O é calculado como a média das coordenadas de A e B, confirmando que AB é um diâmetro da circunferência C, já que O é equidistante de A e B. O ângulo central ?AOB mede 180°, e, consequentemente, qualquer ângulo inscrito ?ADB que subtenda o arco AB mede 90°, conforme a relação entre ângulos centrais e inscitos.

Raio-X da questão

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