No círculo de centro O(4,0) e raio 5, a reta y = 3 intersecta a circunferência nos pontos P e Q. a) Determine…

Questão

No círculo de centro O(4,0) e raio 5, a reta y = 3 intersecta a circunferência nos pontos P e Q. a) Determine as coordenadas de P e Q. b) Calcule a medida do ângulo central ?POQ. c) Usando a relação entre ângulo central e inscrito, calcule a medida do ângulo inscrito que subtende o arco PQ. Apresente todos os cálculos e justificativas.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Substitua y=3 na equação (x-4)²+y²=25: (x-4)²+9=25 ? (x-4)²=16 ? x-4=±4 ? x=8 ou x=0. Assim P(8,3) e Q(0,3). b) Vetores OP=(8-4,3-0)=(4,3) e OQ=(0-4,3-0)=(-4,3). Produto escalar OP·OQ = 4·(-4)+3·3 = -16+9 = -7. |OP|=|OQ|=5. Logo cos(?POQ)=(-7)/(5·5) = -7/25. Assim ?POQ = arccos(-7/25) ˜ 106,26°. c) Um ângulo inscrito que subtende o mesmo arco tem medida metade do ângulo central: ?inscrito = ?POQ/2 ˜ 53,13°. Apresentei interseção por substituição, cálculo vetorial para o cosseno do ângulo e a relação central–inscrito para concluir.

Explicação

A determinação dos pontos de interseção entre a reta e a circunferência foi feita corretamente ao substituir a equação da reta na equação da circunferência. O cálculo do ângulo central foi realizado utilizando o produto escalar dos vetores, permitindo encontrar o cosseno do ângulo, e a relação entre ângulos central e inscrito foi aplicada para encontrar a medida do ângulo inscrito, que é sempre a metade do ângulo central. Todos os passos foram justificados com os conceitos matemáticos adequados, garantindo a precisão dos resultados.

Raio-X da questão

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