No plano cartesiano, considere o círculo de centro O(2,1) e raio 3: (x-2)²+(y-1)²=9. Pontos A(5,1), B(2,4) e…

Questão

No plano cartesiano, considere o círculo de centro O(2,1) e raio 3: (x-2)²+(y-1)²=9. Pontos A(5,1), B(2,4) e C(-1,1) pertencem à circunferência. A reta r passa por A e B; a reta s é paralela a r e passa por C; a transversal t é a reta x=2. a) Determine D, a segunda interseção de s com a circunferência. b) Calcule a medida do arco AC e do ângulo inscrito ?ABC, justificando a relação entre eles. c) Calcule a medida do ângulo agudo entre t e r. d) Calcule a distância BD.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Reta s: passa por C(-1,1) com o mesmo declive de r. Como r passa por A(5,1) e B(2,4), seu declive m = (4-1)/(2-5) = -1; assim s: y = -x. Interseção com a circunferência: substituir y=-x em (x-2)²+(-x-1)²=9 ? 2x²-2x-4=0 ? x²-x-2=0 ? (x-2)(x+1)=0. Soluções x=-1 (C) e x=2 ? D(2,-2). b) Vetores OA = (3,0) e OC = (-3,0) são opostos, logo ?AOC = 180°; arco AC (menor) = 180°. Ângulo inscrito subtendendo arco AC satisfaz medida = ½·(medida do arco) ? ?ABC = 90°. Justificação: ângulo central corresponde ao arco inteiro; ângulo inscrito mede metade do arco que subtende. c) Declive de r é -1 ? direção de r forma ângulo a = arctan(-1) = -45° com o eixo x. Transversal t (x=2) é vertical, direção 90° com o eixo x. Diferença |90° - (-45°)| = 135°; o ângulo agudo entre as retas é o complementar: 180°-135° = 45°. Alternativamente, tangente do ângulo entre vertical e r é |1/(-1)|=1 ? ângulo = 45°. d) Coordenadas B(2,4) e D(2,-2) têm mesma abscissa; distância BD = v((2-2)²+(4-(-2))²) = v(0+36)=6.

Explicação

A solução apresenta um raciocínio lógico e passo a passo, utilizando conceitos de geometria analítica, como a determinação de equações de retas e interseções com a circunferência. A relação entre ângulos e arcos é bem explicada, mostrando a conexão entre ângulo central e ângulo inscrito. Além disso, a aplicação da fórmula da distância entre pontos é feita de forma precisa, garantindo a exatidão dos resultados.

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• No plano cartesiano, considere o círculo de centro O(1,2) e raio 5: (x-1)²+(y-2)²=25. A reta r: y=2x+1 intersecta o…
• No plano cartesiano, considere a circunferência C de centro O(2,1) e raio 5, dada por (x-2)^2+(y-1)^2=25. Sejam r: y=4 e…
• No plano cartesiano, considere os pontos A(2,1), B(8,1), C(2,5) e D(8,5). Esses quatro pontos pertencem à mesma…
• No plano, sejam as retas r: y = x + 2 e s: y = x - 2 (r ? s) cortadas pela transversal t: x = 3. Seja A = r n t e B = s…
• No plano cartesiano, sejam A(1,2), B(4,5) e C(7,2) três pontos de uma mesma circunferência. a) Determine o centro O e o…
• No plano cartesiano, considere o círculo de centro O(3,1) que passa por A(6,5). Dois pontos B e C pertencem à…

Todas as questões de Plano cartesiano: coordenadas cartesianas (1º quadrante) e representação de deslocamentos no plano cartesiano