Seja um polígono regular inscrito numa circunferência com vértices V1,V2,...,Vn em ordem. Para um inteiro k…

Questão

Seja um polígono regular inscrito numa circunferência com vértices V1,V2,...,Vn em ordem. Para um inteiro k com 1 = k = n-2, considere o triângulo formado por V1, Vk+1 e Vk+2. (a) Expresse, em função de n e k, a medida do arco de V1 até Vk+2 no sentido direto. (b) Expresse a medida do ângulo inscrito em Vk+1 que intercepta esse arco. (c) Determine para quais pares (n,k) inteiros esse ângulo é agudo (menor que 90°) e justifique.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

(a) Entre V1 e Vk+2 há k+1 intervalos entre vértices; assim o arco mede (k+1)·(360/n) graus. (b) O ângulo inscrito em Vk+1 vale metade do arco: (k+1)·(180/n)°. (c) Para ser agudo: (k+1)·(180/n) < 90 ? (k+1)/n < 1/2 ? k+1 < n/2 ? k < n/2 - 1. Portanto os pares inteiros satisfazem 1 = k = ?n/2?-1. Ex.: n=10 ? k?{1,2,3}.

Explicação

A explicação se baseia na relação entre os arcos e ângulos em polígonos regulares, onde a medida do arco é proporcional ao número de intervalos entre os vértices. O ângulo inscrito é sempre a metade do arco correspondente, o que leva à condição para que o ângulo seja agudo, resultando em uma inequação que define os pares possíveis de (n, k). A análise final fornece um intervalo específico para k em função de n, garantindo que a condição de agudeza do ângulo seja atendida.

Raio-X da questão

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